Когда алиасы это хорошо?

В книге Хэмминга « Искусство заниматься наукой и техникой» он рассказывает следующую историю:

Группа в Военно-морской аспирантуре модулировала очень высокочастотный сигнал до того места, где они могли позволить себе производить выборку, согласно теореме выборки, как они ее понимали. Но я понял, что если они ловко сэмплируют высокую частоту, то сам акт сэмплирования модулирует (псевдоним) его. После нескольких дней споров они сняли стойку оборудования для понижения частоты, а остальная часть оборудования работала лучше!

Существуют ли другие способы использования псевдонимов в качестве основного метода обработки сигнала, в отличие от побочного эффекта, которого следует избегать?

Цитируемый текст в вопросе является случаем использования полосовой выборки или недостаточной выборки .

Здесь, чтобы избежать искажения искажения, интересующий сигнал должен быть полосовым . Это означает, что спектр мощности сигнала только ненулевой между .$f_L < |f| < f_H$

Если мы сэмплируем сигнал со скоростью , то условие, что последующие повторяющиеся спектры не перекрываются, означает, что мы можем избежать алиасинга. Повторные спектры происходят при каждом целом кратном .$f_s$$f_s$

Математически мы можем записать это условие, чтобы избежать искажения псевдонимов, как

где - целое число, удовлетворяющее$n$

Существует ряд допустимых частотных диапазонов, с которыми вы можете сделать это, как показано на диаграмме ниже (взято из ссылки на википедию выше).

На приведенной выше диаграмме, если проблема заключается в серых областях, то мы можем избежать искажения искажения с помощью полосовой дискретизации - даже несмотря на то, что дискретизированный сигнал является псевдонимом, мы не исказили форму спектра сигнала.

Один случай, который приходит на ум, это цифровая демодуляция. Оптимальным детектором для схемы линейной модуляции является согласованная фильтрация и прореживание до средней выборки каждого символа.

Согласованная фильтрация может не очень хорошо справляться с сокращением полосы пропускания, но мы все же хотим принимать решения на скорости передачи символов.

Псевдоним энергии в этом случае является частью реконструкции модулированных символов.

Ключевым моментом является то, что энергия должна связывать псевдоним в правильной фазе, то есть время имеет решающее значение.

Суперразрешение - это еще одна область, где необходимо наложение алиасов, или, лучше сказать, оптическая система не должна быть самым слабым звеном в цепочке (а оптические компоненты, которые эффективно не сглаживают, такие как оптические фильтры против муара, не должны быть частью цепь)

Еще один случай, когда псевдонимы не представляют проблемы, - это создание низкочастотных фильтров, используемых для прореживания. Вы можете разрешить некоторое наложение псевдонимов после операции прореживания, чтобы ослабить ограничения на производительность фильтра, что приведет к проектированию более низкого порядка. Вместо того, чтобы размещать край полосы останова на частоте Найквиста после децимации, вы можете выдвинуть его достаточно далеко, чтобы он не сместился обратно в полосу пропускания фильтра (и, следовательно, исказить интересующий вас сигнал).

Заявлено более математически, предположим , что исходный сигнал оцифровывается на скорости и вы прореживание на коэффициент . Край полосы пропускания фильтра определяется шириной полосы сигнала, представляющего интерес. Частота Найквиста после прореживания будет , поэтому, очевидно, крайняя частота полосы пропускания должна быть меньше этой.$f_s$$D$$f_p$$\frac{f_s}{2 D}$

Поскольку я утверждал, что вы можете позволить полосе пропускания выходить за пределы прореженной частоты Найквиста, вспомните, как работает алиасинг во второй зоне Найквиста: любой контент с частотой перед операцией прореживания будет казаться расположенным в впоследствии. Таким образом, мы можем разместить край полосы на некоторой частоте и выбрать таким образом, чтобы полоса перехода фильтра не перекрывалась с полосой пропускания после того, как мы уничтожим. Для того чтобы это было правдой:$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$$f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\Delta f$

Вывод из этого заключается в том, что если в пост-децимированном сигнале все еще присутствует приличное количество избыточной дискретизации ( есть некоторые причины, по которым вы бы это сделали ), то вы можете вытолкнуть полосу задерживания нетривиальным значением. В качестве количественной меры вы можете посмотреть на коэффициенты перехода «наивного» и «расслабленного» спецификаций фильтра:

Это последнее выражение дает вам компактное представление об улучшении коэффициента перехода, который может быть получен путем ослабления спецификации фильтра таким образом, параметризованной отношением полосы пропускания фильтра (то есть ширины полосы интересующего сигнала) к частоте Найквиста после децимации , Построив это отношение в зависимости от частоты полосы пропускания (нормированной по частоте дискретизации после прореживания), вы получите:

Итак, в итоге, если после операции прореживания ваш сигнал все еще прилично передискретизирован, то вы можете уменьшить коэффициент перехода фильтра до 2 раз, ослабив его спецификацию таким образом. Как правило, количество требуемых отводов для КИХ-фильтра примерно пропорционально коэффициенту перехода. Он допускает некоторое наложение при выполнении прореживания, но спецификации разработаны таким образом, чтобы наложение не перекрывалось с желаемым сигналом. Это позволяет при необходимости удалить его позднее, с помощью фильтра, который работает с частотой дискретизации .$\frac{f_s}{D}$

При определенных условиях алиасинг действительно может быть полезен.

Посмотрите на это так: допустим, частота дискретизации составляет 100 Гц. Допустим также, что у вас есть сигнал где-то там, например, от 990 до 1010 Гц. (Таким образом, его общая пропускная способность составляет 20 Гц, и он центрирован на 1000 Гц).

Хорошо, отлично, что теперь?

Предположим, вы выбрали этот сигнал с частотой 100 Гц. Все, что происходит, это то, что ваш сигнал (с 990-1010, с центром на 1000 Гц) копируется и сдвигается с целым кратным 100, верно?

Таким образом, теперь внезапно у вас есть копия вашего исходного сигнала 990-1010, за исключением того, что теперь у вас есть копия с центром в 900, 800, 700, 600 и т. Д., А также 1100, 1200, 1300 и т. Д. И т. Д. тоже самое конечно. Таким образом, ваша копия вашего сигнала с центром в 900 занимает 890-910 Гц. Копия с частотой 800 Гц занимает 790-810 Гц, и так далее, и тому подобное. У вас также будет копия в «основной полосе» (это означает, что она центрирована на 0 Гц и занимает от -10 до 10 Гц).

Так когда это полезно? Хорошо, посмотрите на то, что вы только что сделали - вам просто удалось взять свой сигнал, сидящий на частоте 1000 Гц, подавить его в основной полосе частот, и все это с помощью сэмплера, работающего на частоте всего 100 Гц! И угадайте, что! Вы сделали все это на законных основаниях в соответствии с Nyquist!

Это связано с тем, что Найквист не говорит, что вы должны как минимум вдвое превышать максимальную частоту - неправильно, неправильно, неправильно, неправильно! (Но это очень распространенное заблуждение.) Он говорит, что вы должны как минимум вдвое увеличить максимальную полосу пропускания вашего сигнала, которая в данном случае составляет 20 Гц.

Приложения? Что ж, многие базовые станции для мобильных телефонов на самом деле используют эту технику «недостаточной выборки». Таким образом, сигнал вашего сотового телефона находится в некотором диапазоне высоких ГГц, а базовая станция выполняет выборку в диапазоне сотен МГц.

И, кстати, учитывая, как Nyquist на самом деле работает, мне не нравится термин «недостаточная выборка» - потому что это подразумевает, что мы, ну, в общем, недостаточно выборки. Но мы не! Мы полностью следуем за Найквистом и всегда выбираем по крайней мере в два раза больше максимальной полосы пропускания рассматриваемого сигнала.