Почему я оставляю сигнал с избыточной дискретизацией?

Я не могу придумать лучшего способа задать этот вопрос, поэтому начну с примера. Предположим, что у меня есть входной сигнал с максимальной частотой 50 Гц (с выборкой на 100 Гц). Теперь интересующие сигналы лежат в диапазоне 0-5 Гц, поэтому я могу добавить фильтр нижних частот с отсечкой 5 Гц и использовать полученный сигнал для дальнейшей обработки. Насколько я понимаю, теперь я могу уменьшить отфильтрованный сигнал в 10 раз и, следовательно, уменьшить нагрузку на обработку. Я прав? Если да, то почему фильтрация не всегда выполняется после фильтрации, потому что она кажется мне очевидным путем? И если я ошибаюсь в своем предположении, где я ошибаюсь?

Вы правы в том, что если ваш сигнал ограничен полосой пропускания <5 Гц, то вы можете прекрасно представить его с частотой дискретизации 10 Гц. Это известная теорема выборки

Но ... могут быть практические соображения о том, почему человек не может и / или не склонен использовать данные с критической выборкой.

Одной из причин является сложность создания критически дискретизированного сигнала. Любая операция, которую вы выполняете для изменения скорости сигнала, будет иметь какой-то фильтр с ненулевой полосой пропускания перехода. В вашем примере это ограничивает несвязанное содержимое частоты до 5 футов. Эта полоса пропускания перехода может быть очень узкой с фильтрами с длинным импульсным откликом, но это требует затрат как с точки зрения обработки, так и с точки зрения переходных процессов (звонка) в начале и конце сигнала.

Другой причиной является эффективность алгоритмов, которые работают с полученным сигналом. Если вам нужно работать с компонентом черного ящика, который может выбрать только ближайший образец, вам лучше будет передать данные с избыточной выборкой.

Большинство (все?) Нелинейных операций будут вести себя по-разному с критически дискретизированными и чрезмерно дискретизированными данными. Одним из примеров является возведение в квадрат сигнала, хорошо известный метод восстановления несущей BPSK. Без условия 2-кратной передискретизации умножение сигнала во временной области приводит к наложению псевдонимов, когда частотная область сворачивается сама с собой.

Еще две причины для чрезмерной выборки:

1. Низкая задержка: например, для контуров управления требуется очень низкая задержка. При избыточной дискретизации данные поступают и выводятся быстрее, что снижает задержку. Также любая фильтрация нижних частот вводит групповую задержку. Чем острее фильтр нижних частот, тем выше групповая задержка. Если вы производите избыточную выборку, вам понадобятся менее крутые фильтры сглаживания, и в результате вы получите меньшую групповую задержку и, следовательно, задержку.

2. Практичность: если ваши входные и выходные данные работают с одинаковой (высокой) скоростью, вы потенциально можете уменьшить частоту дискретизации, но вам придется снова повышать частоту, прежде чем вы сможете вывести результат. Пример: в системе домашнего кинотеатра вы можете уменьшить частоту обработки басов, но вам придется снова повышать частоту, так как выходы работают с высокой скоростью. Во многих случаях экономия в MIPS не стоит беспокоиться

Существует ряд факторов, которые необходимо учитывать при определении частоты дискретизации. Позвольте мне перечислить некоторые из них, чтобы дать вам представление о том, какие могут быть другие последствия, если вы снизите частоту дискретизации. Конечно, многое из этого зависит от того, как именно вы снизите частоту дискретизации, но ...

1. Частота Найквиста: Нельзя обнаружить частоты больше, чем Найквист, который составляет половину частоты обнаружения, по крайней мере, с использованием типичных методов обработки. Существуют методы, которые включают фильтрацию сигналов до аналого-цифрового преобразования в сигналы в полосе Найквиста.
2. Обнаружение частот вблизи Найквиста может быть затруднено и может привести к ошибкам. Обратите внимание, это обычно только для тех, кто действительно закрывает группу. В этом примере ограничение диапазона до 12 Гц (6 Гц Найквиста) более чем адекватно решит любые проблемы, связанные с этим.
3. Высокочастотные компоненты, как правило, имеют меньшую прочность по сравнению с более низкими частотами. Это в основном происходит потому, что теория выборки предполагает функцию гребенки, то есть обнаружение в момент времени, равномерно распределенный. По правде говоря, все сигналы измеряются в течение небольшого промежутка времени. Результатом этого является свертывание прямоугольника во временной области или умножение на сигнал sinc в частотной области. Конечно, если вы просто берете каждый 10-й сигнал (в отличие от использования более длительного времени выборки), этот эффект будет смягчен.

Чтобы проиллюстрировать некоторые из этих принципов, я написал простую программу Matlab, которой я также покажу вывод.

pis=linspace(0,2*pi,2048);
for f=1:512
sig=cos(f*pis+pi/2);
sig_average=filter(ones(16,1),1/16,sig);
sam_sig=sig_average(1:16:end);
freq=abs(fft(sam_sig));
freqs(f)=max(freq);
end
figure;plot((1:512)/64,freqs)

Критерий Найквиста (передискретизация в два раза, чтобы точно описать ваш сигнал) применяется к бесшумным данным. Если вы хотите восстановить зашумленные данные, вам нужно выбрать более высокую частоту, чем минимальная. Это особенно верно в случае изображений, где у вас обычно нет периодических сигналов, и где вы не можете просто усреднить время, чтобы уменьшить шум.

Кроме того, если вы хотите приспособить модель к вашим данным, вы снова получите выгоду от более высокой выборки, поскольку размещение модели в трех точках данных не будет особенно стабильным, особенно при наличии шума.

Одной из причин сохранения избыточной дискретизации сигнала является компромисс между динамическим диапазоном и избыточной дискретизацией. Грубо говоря, каждый раз, когда вы удваиваете «ненужную» полосу пропускания для интересующего сигнала, вы получаете дополнительный бит разрешения выборки, после применения фильтрации (что может происходить в цифровой области) вы можете сохранять результаты на более высокой битовой глубине и биты содержат действительное содержание сигнала, а не дополнительный шум (для интересующей полосы пропускания). Если ваша система работает в условиях, в которых может быть полезен некоторый дополнительный динамический диапазон, то есть веская причина поддерживать высокую частоту дискретизации сигнала при его поступлении в АЦП.