Преобразование Фурье с дискретным временем

13

Я младший школьник, который увлекается электроникой, программированием и тому подобным. Недавно я узнал об обработке сигналов.

К сожалению, я еще не сделал много исчисления (простите меня), поэтому я немного размышляю о вещах.

Если бы вы рассчитывали DTFT сигнала, какая разница между представлением этого сигнала в виде или ? $\sin$ $\cos$
С DTFT я понимаю, что сигнал, который вы вводите, будет дискретным во времени, но как в мире вы можете достичь непрерывного сигнала в частотной области?
Это приводит ко второму вопросу: чем полезен DTFT? Где он использовался с большинством приложений и почему?

Буду признателен за любую помощь.

fourier-transform

— ElectroNerd
источник

Что касается моего первого вопроса, я бы предположил, что он просто сдвинут по фазе на 90 °. Тем не менее, я произвел некоторые графики , которые показывают иначе: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/... i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/...

— ElectroNerd

Отличные вопросы. Я создал ответ (ы) на эти вопросы, особенно в связи с тем, как DSP доводится до сознания молодых людей. (Это особенно верно на уровне университета). Снимите мне электронное письмо, и я покажу вам некоторые материалы (слишком много, чтобы размещать их здесь).

— Спейси

@ Мохаммед: Привет, можешь поделиться этими материалами со мной по адресу abidrahman2@gmail.com?

— Абид Рахман К

7

Это здорово, что вы заинтересованы в обработке сигналов на этой ранней стадии вашего образования.

Лучший способ добраться - это прочитать несколько вступительных книг по этой теме. Есть много хороших и бесплатных онлайн-ресурсов, чтобы вы начали. [Примечание для уважаемого редактора: хорошие вступительные книги могут стать действительно хорошей темой для «липкого»]. Я иногда использую

Одним из наиболее важных математических понятий, которые вам понадобятся, чтобы обнять руки, являются «сложные» числа ». Это явно неправильно, так как на самом деле это не так сложно и, очевидно, делает почти всю инженерную математику намного проще. Еще один замечательный бесплатный ресурс по всем вопросам, связанным с математикой, - это http://www.khanacademy.org, в данном случае, в частности, http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra.

Возвращаясь к первому вопросу: на самом деле существует четыре различных варианта преобразования Фурье: ряд Фурье (наиболее вероятно, появится в старшей школе), преобразование Фурье, дискретное преобразование Фурье и ряд дискретных Фурье. Все они используют комбинацию синуса и косинуса (или сложную экспоненту, что по сути одно и то же). Вам понадобятся оба.

Допустим, вы вычислили синусоидальные и косинусные коэффициенты Фурье входной синусоидальной волны. (При определенных условиях) вы обнаружите, что все коэффициенты Фурье будут равны нулю, кроме одного косинуса и одного синусоидального коэффициента. Однако, в зависимости от фазы входной синусоиды, эти два числа будут перемещаться. Вы можете получить [0,707 0,707], или [1 0], или [0 -1], или [-0,866 0,5] и т. Д. Вы увидите, что сумма квадратов этих двух чисел всегда будет 1, но фактическая значения зависят от фазы входной синусоиды.

Если вы хотите глубоко погрузиться, попробуйте это: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
источник

Привет Хилмар, спасибо за ответ! Я немного поработал со сложными числами и должен согласиться: они относительно простые. Рад слышать. Немного поигравшись, я вычислил величину входного сигнала sin и cos для DTFT и обнаружил, что амплитуда была одинаковой и для sin, и для cos. Спасибо особенно за справочники, сейчас я буду занят.

— ElectroNerd

2

Вы можете посмотреть на материалы, доступные через

Проект INFINITY: расширение инженерного образования на основе обработки сигналов до классной комнаты старшей школы

доступно здесь

— Дилип Сарватэ
источник

Это выглядит очень интересно; Я могу попробовать и порекомендовать это моей школе.

— ElectroNerd

1

DTFT-преобразование с дискретным временем принимает дискретный бесконечный сигнал, поскольку его вход и выход в частотной области являются непрерывными и имеют период 2 * pi. Что касается его использования, то, по моему опыту, DFT (дискретное преобразование Фурье) используется для практических целей. При определенных условиях легко показать, что ДПФ конечного непериодического сигнала - не что иное, как равноотстоящие выборки ДПФ. В общем, если мы обнуляем последовательность во временной (или пространственной) области, мы получаем все больше и больше выборок DTFT.

Суть в том, что DFT очень полезен, и DFT можно рассматривать как одинаково разнесенные выборки DTFT, чтобы получить больше выборок DTFT, помогает нулевая полоса сигнала.

— ру.
источник

Это имеет смысл: мне сказали, что чем дольше вы производите выборку во временной области, тем лучше будет разрешение в частотной области после вычисления DTFT. Я построил это с помощью Python и matplotlib ( синус + заполнение нулями , DTFT с заполнением нулями. Это

— хитрый

Я должен сказать, что вы должны быть осторожны здесь. Большим заблуждением является то, что нулевое заполнение вашего сигнала увеличивает разрешение по частоте - это не так. Единственный способ по-настоящему увеличить разрешение по частоте - это получить больше данных - больше выборок во временной области. Теперь, как говорится, заполнение нулями действительно помогает, если вы хотите посмотреть на свой частотный спектр с интерполированными точками между тем, что вы действительно рассчитали.

— Спейси

1

Прежде всего, это помогает разобраться в терминологии:

Функция во временной области известна как сигнал .
Функция в частотной области называется спектром .

a_{N} знак равно \frac{1}{π} \int^{T} s (Икс) соз N Икс d Икс

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

б_{N} знак равно \frac{1}{π} \int^{T} s (Икс) грех N Икс d Икс

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{е} (Икс) знак равно \frac{a_{N}}{2} + Σ_{N знак равно 1}^{\infty} a_{N} соз (N Икс) + б_{N} s я N (N Икс)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{е} (Икс) знак равно s (Икс)

$s_f(x)=s(x)$

В этом уравнении a _n и b _n являются действительной и мнимой частями дискретного спектра соответственно. Поэтому, как вы можете видеть, преобразование Фурье косинуса будет действительным числом, а для синуса - мнимым числом. T на интегральных означает , что мы интегрируем в течение полного периода сигнала. Это в основном используется в том, что называется гармоническим анализом, который я в основном использовал при анализе аналоговых цепей с несинусоидальными сигналами (прямоугольные волны, треугольные волны и т. Д.). Но что, если сигнал не является периодическим? Это не работает, и мы должны обратиться к преобразованию Фурье.

Преобразование Фурье преобразует непрерывный сигнал в непрерывный спектр. В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье позволяет преобразовать непериодическую функцию в спектр. Непериодическая функция всегда приводит к непрерывному спектру.

Преобразование Фурье с дискретным временем достигает того же результата, что и преобразование Фурье, но работает с дискретным (цифровым) сигналом, а не с непрерывным (аналоговым) сигналом. DTFT может генерировать непрерывный спектр, потому что, как и прежде, непериодический сигнал всегда будет генерировать непрерывный спектр, даже если сам сигнал не является непрерывным. В сигнале все равно будет присутствовать бесконечное количество частот, даже если оно дискретно.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, DTFT, пожалуй, самый полезный, поскольку он работает с цифровыми сигналами и поэтому позволяет нам проектировать цифровые фильтры. Цифровые фильтры далекоболее эффективный, чем аналоговые. Они намного дешевле, намного надежнее и намного проще в разработке. DTFT используется в нескольких приложениях. Сверху головы: синтезаторы, звуковые карты, записывающее оборудование, программы распознавания голоса и речи, биомедицинские устройства и некоторые другие. DTFT в чистом виде в основном используется для анализа, но DFT, который принимает дискретный сигнал и дает дискретный спектр, запрограммирован в большинстве вышеперечисленных приложений и является неотъемлемой частью обработки сигналов в информатике. Наиболее распространенной реализацией ДПФ является быстрое преобразование Фурье. Это простой рекурсивный алгоритм, который можно найти здесь . Надеюсь, это поможет! Не стесняйтесь комментировать, если у вас есть какие-либо вопросы.

— Зетта Суро
источник

0

Как пв. указанный ДПФ получается путем выборки ДПФ в «Частотной области». Как вы, возможно, знаете, сигнал с дискретным временем получается путем дискретизации сигнала с непрерывным временем. Однако, чтобы создать сигнал непрерывного времени идеально из его дискретного аналога, частота дискретизации ДОЛЖНА быть больше, чем частота Найквиста. Чтобы это произошло, сигнал непрерывного времени должен быть ограничен по частоте.

Для DTFT и DFT история как-то перевернута. У вас есть DTFT, который непрерывен в области «Частота». По сути, вы не можете хранить непрерывный сигнал и обрабатывать его на компьютере. Решение - выборка! Итак, вы делаете выборку из DTFT и вызываете результат DFT. Однако в соответствии с теоремой выборки, чтобы полностью восстановить DTFT из DFT, аналог DTFT во временной области ДОЛЖЕН быть ограничен по времени. Вот почему нужно использовать оконные, прежде чем принимать DFT.

— Сина
источник