Как мне найти импульсную реакцию системы на ее представление в пространстве состояний с использованием матрицы перехода состояний?

Предположим, у нас есть линейное представление в стандартном обозначении пространства состояний:

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Чтобы получить его импульсный отклик, можно взять его преобразование Лапласа, чтобы получить

Y = C X + D

$$sX=AX+BU$$ $$Y=CX+DU$$

а затем решить для передаточной функции, которая

$$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

Аналогично, для дискретной системы преобразование x [ n + 1 ] = A x [ n ] + B u [ n ] y [ n ] = C x [ n ] + D u [ $\mathcal{Z}$

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$ $$y[n] = Cx[n] + Du[n]$$

является

$$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$$

Этот процесс кажется немного длинным, и я помню, что есть способ найти импульсный отклик, используя матрицу перехода состояний, которая является решением для $x$ первых уравнений каждой пары. Кто-нибудь знает как это сделать?

$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

$$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$$

$x_0=x(0)$$e^{At}$$\Xi(t)$$x_0=0$$y(t)$

$$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$$

$\Xi(t)=e^{At}$$(sI-A)^{-1}$

$$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$$

которая дает вам ту же функцию передачи, что и в вашем вопросе.

---

Что касается вашего комментария о полном подходе к преобразованию Лапласа, я бы не сказал, что это так. Тем не менее, матричный подход перехода состояний может быть проще реализовать , потому что несколько операций с ним могут быть вычислены с простым умножением матрицы и ничего более.