Почему мы говорим, что «нулевое заполнение не увеличивает разрешение по частоте»

Вот синусоида частоты f = 236.4 Hz(ее длина составляет 10 миллисекунд; она имеет N=441точки с частотой дискретизации fs=44100Hz) и ее ДПФ без заполнения нулями :

Единственный вывод, который мы можем сделать, взглянув на ДПФ: «Частота приблизительно равна 200 Гц».

Вот сигнал и его ДПФ, с большим заполнением нулями :

Теперь мы можем сделать гораздо более точный вывод : «Внимательно посмотрев на максимум спектра, я могу оценить частоту 236 Гц» (я увеличил масштаб и обнаружил, что максимум около 236).

Мой вопрос: почему мы говорим, что «нулевое заполнение не увеличивает разрешение» ? (Я видел это предложение очень часто, затем они говорят, что «это только добавляет интерполяцию»)

=> В моем примере заполнение нулями помогло мне найти правильную частоту с более точным разрешением!

Резолюция имеет очень конкретное определение в этом контексте. Это относится к вашей способности разрешать два отдельных тона на близких частотах. Вы увеличили частоту дискретизации своей оценки спектра, но у вас нет возможности различать два тона, которые могут быть, например, с 236 Гц и 237 Гц. Вместо этого они «сливаются» в один шарик, независимо от того, сколько вы добавляете к нулю.

Решение для увеличения разрешения состоит в том, чтобы наблюдать сигнал в течение более длительного периода времени, а затем использовать большее ДПФ. Это приведет к основным лепесткам, ширина которых обратно пропорциональна размеру DFT, поэтому, если вы наблюдаете достаточно долго, вы можете фактически разрешить частоты нескольких тонов, которые находятся рядом друг с другом.

-

Чтобы увидеть, как это работает, вот график увеличенного БПФ сложения двух сигналов: вашей исходной синусоиды и той, которая отличается по частоте от нее на 0-100 Гц.

Только в сторону разницы 100 Гц графика (здесь слева) вы можете различить (разрешить) оба.

Код Scilab для генерации сюжета ниже.

f = 236.4;
d = 10;
N=441;
fs=44100;
extra_padding = 10000; 

t=[0:1/fs:(d/1000-1/fs)]
ff = [0:(N+extra_padding-1)]*fs/(N+extra_padding);

x = sin(2*%pi*f*t);

XX = [];

for delta_f = [0:100];
    y = sin(2*%pi*(f+delta_f)*t);
    FFTX = abs(fft([x+y zeros(1,extra_padding)]));
    XX = [XX; FFTX];
end

mtlb_axis([0 1300 0 500])

figure(1);
clf
[XXX,YYY] = meshgrid(ff,0:100);
mesh(XXX(1:100,[50:90]),YYY(1:100,[50:90]),XX(1:100,[50:90]))

Термин «разрешение» имеет несколько значений, которые могут запутать людей, пытающихся общаться при использовании двух разных значений.

В оптическом смысле, из-за возможности разрешения двух соседних четко разделенных точек (или двух смежных пиков в спектре) вместо одного размытого сгустка заполнение нулями не поможет. Это значение, скорее всего, используется, когда утверждается, что заполнение нулями не увеличивает разрешение.

Если для разрешения требуется провал (например, минимальное снижение на 3 дБ) между спектральными пиками, тогда разрешение будет даже ниже, чем расстояние между бинами FFT, например, даже не Fs / N, а от 2X до 3X или больше, в зависимости от используемого окна. Более слабым требованием к разрешению может быть только разнос частот ортогональных базисных векторов ДПФ, например, Fs / N.

С точки зрения точек на графике, да, заполнение нулями даст вам больше точек на графике, как в разрешении DPI (точек на дюйм). Это может облегчить выделение экстремумов глазным яблоком. Однако это те же точки, которые вы получили бы, выполнив очень высококачественную интерполяцию графика (Sinc-интерполяцию) без какого-либо дополнения нулями, поэтому они действительно не добавляют никакой информации, которую нельзя было бы рассчитать иначе без дополнения нулями.

С точки зрения отслеживания основного тона, параболическая или Sinc-интерполяция (интерполяция между результирующими бинами FFT) результата FFT с окном, не дополненного нулями, может дать вам такой же хороший результат, как и при использовании более длинного графика FFT с более интенсивными вычислениями. Таким образом, заполнение нулями дает «лучший» результат отслеживания основного тона, чем выборка пиков без дополнения нулями и без интерполяции, но часто намного менее эффективно, чем просто с использованием интерполяции.

Если вы добавите шум к своему примеру, но немного меньше, чем сигнал, вы обнаружите, что пик с нулевым дополнением может быть столь же неточным, как пик с нулевым дополнением. Таким образом, в более общем случае вы, возможно, не нашли «правильную» частоту с большей точностью, чем раньше. Нулевое заполнение интерполирует только неточный результат из-за шума, что является еще одной причиной, по которой говорят, что оно не увеличивает разрешение.