Есть ли способ получить импульсную характеристику дискретной системы, просто зная, что она реагирует на шаговую функцию дискретной единицы?

В непрерывное время это было возможно;

$$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$$

Применимо ли это к дискретной системе времени, т.

$$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$$

Есть ли способ получить импульсный отклик дискретной системы, просто зная отклик шага дискретного блока?

Более простой вариант ответа Фонона заключается в следующем.

Предположим, что обозначает реакцию системы на функцию единичного шага. Тогда, как обсуждалось в этом ответе , в общем, y является суммой масштабированных и задержанных по времени копий импульсного отклика, и в этом конкретном случае масштабирование не требуется; только задержки. Таким образом, у [ 0 $y$ $y$ где каждый столбец справа представляет собой (немасштабированный и) импульсный отклик с задержкой по времени. Таким образом, мы легко получаем, что h [ 0

$$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ без упоминания фильтров, инверсий, сверток, интегрирования, операторов и т. П., Просто простых следствий определения линейной неизменяемой во времени системы. $$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$

$D(\cdot)$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$d[n]$$*$

$u[n]$$\delta[n]$$u[n]$$u[n] * d[n] = \delta[n]$

$$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$$

$$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$$

$$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$$

$x[n]$$\left(u[n] * x[n]\right)$

Предположения:

• $h(t)$$s(t)$
• $h[n]$$s[n]$

Интуитивно говоря, интеграция в непрерывной временной области эквивалентна суммированию в дискретной временной области. Аналогично, производная в непрерывной области времени эквивалентна конечной разности в дискретной области.

$u$$\delta$

• $u(t) = \int \delta(t)$
• $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$$h$

• $s(t) = \int h(t)$
• $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Теперь, если вы внимательно посмотрите на последнее уравнение:

$$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$$

$h[n]$$s[n]$$s[n-1]$

$$h[n] = s[n] - s[n-1]$$