Интуитивная интерпретация преобразования Лапласа

10

Так что я начинаю понимать преобразования Фурье. Интуитивно понятно, что теперь я определенно понимаю, что он делает, и вскоре последую за некоторыми занятиями по математике (поэтому фактический предмет). Но потом я продолжаю читать о преобразовании Лапласа, и там я как бы теряю его. Каков момент сигнала? Почему преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа? Как я могу справиться с преобразованием Лапласа?

Я посмотрел на эти источники, прежде чем я задал этот вопрос:

Что подразумевается под «импульсным откликом» системы и «частотным откликом»?

Как отличить разные частотные области?

Амплитуда против частотной характеристики

Почему преобразование Фурье так важно?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

— Лео
источник

1

Я думаю, что это хороший вопрос, потому что это не особенно интуитивная концепция

— PAK-9

5

Если у вас есть понимание преобразований Фурье, то, вероятно, у вас уже есть концептуальная модель преобразования сигналов в частотную область. Преобразование Лапласа обеспечивает альтернативное представление сигнала в частотной области - обычно называемое «S-областью», чтобы отличать его от других преобразований частотной области (таких как Z-преобразование - которое, по существу, представляет собой конкретизированный эквивалент преобразования Лапласа).

Каков момент сигнала?

Как вы, несомненно, знаете, преобразование Лапласа дает нам описание сигнала из его моментов, подобно тому, как преобразование Фурье дает нам описание по фазе и амплитудам.

Говоря в общем, момент можно рассматривать как отклонение выборки от среднего значения сигнала - первый момент фактически является средним, второй - дисперсией и т. Д. (Они все вместе известны как «моменты распределения»)

Учитывая нашу функцию F (t), мы можем вычислить n-ю производную при t = 0, чтобы получить наш n-й момент. Так же, как сигнал может быть полностью описан с использованием фазы и амплитуды, он может быть полностью описан всеми его производными.

Почему преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа?

Если мы посмотрим на двустороннее преобразование Лапласа:

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t

${\int_{-\infty}^\infty}e^{-st}f(t)dt$

$s=i\omega$

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- i ω t} f (t) d t

${\int_{-\infty}^\infty}e^{-i\omega t}f(t)dt$

Есть некоторые заметки об этих отношениях ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ), но математика должна быть достаточно прозрачной.

— PAK-9
источник

3

Я не понимаю, как преобразование Лапласа является «описанием сигнала от его моментов». Я был бы счастлив узнать этот взгляд на вещи.

— Рой

Интересно, спасибо за ответ! Особенно объяснение того, что такое момент, было гораздо более ясным, чем то, что я читал до сих пор. То, как интегралы приводят к S и частотной области, все еще непрозрачно для меня, но то, как Фурье является подмножеством лапласа, теперь более очевидно. Спасибо

— Лев

8

Почему преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа?

$H(s)=\frac{1}{s+1}$

S самолет и другие участки

Если смотреть со стороны, величина этого преобразования Лапласа образует поверхность, причем полюс действует как полюс палатки, который поднимает амплитуду до бесконечности в этой точке (и подразумеваемый ноль на бесконечности, который понижает амплитуду до нуля, чем дальше от происхождение ты получаешь в любом направлении)

палаточный столб

Если теперь взять значение поверхности только вдоль оси jω, это преобразование Фурье. Это красная кривая на изображении выше, которую вы можете видеть, формируя фильтр нижних частот. Если вы переместите полюс дальше от начала координат, палатка будет двигаться в том же направлении, и срез вдоль оси j будет падать, уменьшая усиление (которое мы компенсируем добавлением общего усиления) и увеличивая частоту среза. Я собирался сделать анимацию такого рода вещей ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

— эндолиты
источник

4

Лучшее интуитивное описание преобразования Лапласа, которое я когда-либо видел:

На первый взгляд может показаться, что стратегия преобразования Лапласа такая же, как и преобразования Фурье: коррелируйте сигнал во временной области с набором базовых функций для разложения формы сигнала. Не правда! Несмотря на то, что математика во многом одинакова, обоснование этих двух методов очень разное.

Преобразование Лапласа можно рассматривать как исследование импульсной реакции системы с различными экспоненциально затухающими синусоидами. Зонды, которые производят подавление, называются полюсами и нулями.

$\omega$ $s$ $s=j\omega$

В книге есть хорошая аналогия:

Теперь подумайте, как вы понимаете взаимосвязь между высотой и расстоянием вдоль маршрута поезда по сравнению с проводником. Поскольку вы напрямую измерили высоту по пути, вы можете справедливо заявить, что знаете все об отношениях. Для сравнения, проводник знает ту же самую полную информацию, но в более простой и интуитивно понятной форме: расположение холмов и долин, которые вызывают провалы и горбы вдоль пути. Хотя ваше описание сигнала может состоять из тысяч отдельных измерений, описание проводника для сигнала будет содержать только несколько параметров.

— Юрий Ненахов
источник

3

Это полезная ссылка, но было бы здорово, если бы вы добавили некоторые подробности о том, что именно вы находите интуитивно понятным в этом документе. Ответы, содержащие только ссылки, обычно не рекомендуются.

— Мэтт Л.

3

Добро пожаловать в DSP.SE! Система пометила это как некачественный ответ. Пожалуйста, сделайте так, как предлагает Мэтт Л., и суммируйте описание, приведенное в ссылке

— Питер К.