Когда использовать DTFT против DFT (и их инверсий) в анализе?

Во многих моих чтениях всякий раз, когда какой-либо автор говорит о работе в области частот (преобразования) (цифрового сигнала), они часто принимают DFT или DTFT (и, конечно, их соответствующие инверсии). Разные авторы будут стремиться работать с одним или другим.

Я не был в состоянии действительно установить конкретную модель относительно этого. В этом, почему вы бы выбрали DTFT вместо DFT или наоборот при объяснении алгоритмов? Где один помогает вам по сравнению с другим?

DFT и DTFT, очевидно, похожи, поскольку они оба генерируют спектр Фурье дискретных по времени сигналов. Однако, в то время как DTFT определен для обработки бесконечно длинного сигнала (сумма от -infinity до бесконечности), DFT определен для обработки периодического сигнала (периодическая часть имеет конечную длину).

Мы знаем, что количество частотных интервалов в вашем спектре всегда равно количеству обработанных выборок, поэтому это также дает разницу в спектрах, которые они производят: спектр DFT дискретен, а спектр DTFT непрерывен (но оба являются периодическими с уважение к частоте Найквиста).

Поскольку невозможно обработать бесконечное число выборок, DTFT имеет меньшее значение для фактической вычислительной обработки; в основном существует для аналитических целей.

Однако ДПФ с конечной длиной входного вектора идеально подходит для обработки. Однако тот факт, что входной сигнал является отрывком периодического сигнала, в большинстве случаев не учитывается: когда вы преобразуете спектр DFT обратно во временную область, вы получите тот же сигнал, который вы рассчитали в первое место.

Поэтому, хотя это не имеет значения для вычислений, вы должны заметить, что то, что вы видите, не является действительным спектром вашего сигнала . Это спектр теоретического сигнала, который вы получили бы, если бы вы периодически повторяли входной вектор.

Таким образом, я предполагаю, что в литературе, которую вы упоминали, каждый раз, когда важно, чтобы спектр, с которым вы работаете, на самом деле был спектром, и независимо от вычислительной стороны, автор выбирал DTFT.

DTFT используется, когда математика для доказательства некоторой точки легче (экономит на бумаге и / или меле), когда предполагается бесконечное количество образцов. Это означает, что в действительности это бесполезно в реальном мире (вы умрете задолго до того, как найдете достаточно образцов).

DFT - это когда вы выбираете полезное конечное число выборок для работы (давая вам хороший конечный размер квадратной матрицы, кратно точный эквивалент), независимо от того, являются ли они периодическими (предполагается, что периодичность длины кадра - еще одно заблуждение в умах некоторых людей). чтобы снова сделать математику более податливой). Таким образом, использование DFT обычно подразумевает окно (прямоугольное, если не что-то еще), которое не обязательно в DTFT. Это окно сопровождается иногда неприятными артефактами, а также очевидной потерей информации о сигнале за пределами окна, что является недостатком ДПФ.

ДПФ является преобразованием ограниченного числа отсчетов периодического сигнала. DTFT представляет собой преобразование всего образца сигнала из в и поэтому ввод не обязательно периодический.+ $-\infty$$+\infty$