У меня есть пара вопросов относительно следующего:
Я пытаюсь решить уравнение Шредингера в 1D, используя дискретизацию кривошипа Николсона с последующим инвертированием получающейся трехдиагональной матрицы. Моя проблема теперь превратилась в проблему с периодическими граничными условиями, и поэтому я изменил свой код для использования алгоритма Шермана Моррисона.
Предположим v, моя RHS находится на каждом временном шаге, когда я хочу инвертировать трехдиагональную матрицу. Размер v- это количество точек сетки, которые у меня есть в пространстве. Когда я установил v[0]и v[-1]с точки зрения друг друга , как это требуется в моей периодической ситуации, мое уравнение взрывает. Я не могу сказать, почему это происходит. Я использую Python2.7 и встроенный в Scipy решениеущество для решения уравнения.
Это подводит меня ко второму вопросу: я использовал python, потому что это язык, который я знаю лучше всего, но я нахожу его довольно медленным (даже с оптимизацией, предлагаемой numpy и scipy). Я пытался использовать C ++, так как я достаточно знаком с ним. Я думал, что буду использовать GSL, который будет оптимизирован для BLAS, но не нашел документации для создания сложных векторов или решения трехдиагональной матрицы с такими комплексными векторами.
Я хотел бы, чтобы объекты в моей программе были, так как я чувствую, что для меня было бы проще всего обобщить позже, чтобы включить связь между волновыми функциями, поэтому я придерживаюсь объектно-ориентированного языка.
Я мог бы попытаться написать решатель трехдиагональной матрицы вручную, но у меня возникли проблемы, когда я делал это в Python. Когда я эволюционировал в течение длительного времени с более мелкими и более мелкими временными шагами, ошибка накапливалась и давала мне глупость. Помня об этом, я решил использовать встроенные методы.
Любой совет высоко ценится.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Вот соответствующий фрагмент кода. Запись заимствована из страницы Википедии об уравнении трехдиагональной матрицы (TDM). v - RHS алгоритма Никольсона для каждого временного шага. Векторы a, b и c являются диагоналями TDM. Исправленный алгоритм для периодического случая взят из CFD Wiki . Я сделал небольшое переименование. То, что они назвали u, v Я назвал U, V (с большой буквы). Я назвал q дополнение, y временное решение и фактическое решение self.currentState. Назначение v [0] и v [-1] является причиной проблемы и поэтому было закомментировано. Вы можете игнорировать факторы гамма. Это нелинейные факторы, используемые для моделирования бозе-эйнштейновских конденсатов.
for T in np.arange(self.timeArraySize):
for i in np.arange(0,self.spaceArraySize-1):
v[i] = Y*self.currentState[i+1] + (1-2*Y)*self.currentState[i] + Y*self.currentState[i-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[i]*self.currentState[i] - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[i])**2)*self.currentState[i]
b[i] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[i] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[i])**2)
#v[0] = Y*self.currentState[1] + (1-2*Y)*self.currentState[0] + Y*self.currentState[-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[0]*self.currentState[0]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[0])**2)*self.currentState[0]
#v[-1] = Y*self.currentState[0] + (1-2*Y)*self.currentState[-1] + Y*self.currentState[-2] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[-1]*self.currentState[-1]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[-1])**2)*self.currentState[-1]
b[0] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[0] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[0])**2)
b[-1] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[-1] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[-1])**2)
diagCorrection[0], diagCorrection[-1] = - b[0], - c[-1]*a[0]/b[0]
tridiag = np.matrix([
c,
b - diagCorrection,
a,
])
temp = solve_banded((1,1), tridiag, v)
U = np.zeros(self.spaceArraySize, dtype=np.complex64)
U[0], U[-1] = -b[0], c[-1]
V = np.zeros(self.spaceArraySize, dtype=np.complex64)
V[0], V[-1] = 1, -a[0]/b[0]
complement = solve_banded((1,1), tridiag, U)
num = np.dot(V, temp)
den = 1 + np.dot(V, complement)
self.currentState = temp - (num/den)*complement