Скорость сходимости FFT-пуассоновского решателя

Какова теоретическая скорость сходимости для решения FFT Poison?

Я решаю уравнение Пуассона: с n ( x , y , z ) =

$$\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z)$$ в области[0,2]×[0,2]×[0,2]с периодическим граничным условием. Эта плотность заряда является нейтральной. Решение имеет вид: VH(x)=∫n $$n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)$$ $[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$ гдеx=(x,y,z). В обратном пространстве VH(G)=4πn(G $$V_H({\bf x}) = \int {n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 y$$ ${\bf x}=(x, y, z)$ гдеG- обратные пространственные векторы. Меня интересует энергия Хартри: EH= $$V_H({\bf G}) = 4\pi {n({\bf G})\over G^2}$$ ${\bf G}$ В обратном пространстве это становится (после дискретизации): EH=2π∑G≠0 | n( G ) | $$E_H = {1\over 2} \int {n({\bf x}) n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 x d^3 y = {1\over 2} \int V_H({\bf x}) n({\bf x}) d^3 x$$ ЧленG=0опущен, что фактически делает плотность заряда чистой нейтральной (а поскольку она уже нейтральная, то все согласованно). $$E_H = 2\pi \sum_{{\bf G}\ne 0} {|n({\bf G})|^2\over G^2}$$ ${\bf G}=0$

$$E_H = {128\over 35\pi} = 1.16410...$$

Вот программа, использующая NumPy, которая выполняет вычисления.

from numpy import empty, pi, meshgrid, linspace, sum
from numpy.fft import fftn, fftfreq
E_exact = 128/(35*pi)
print "Hartree Energy (exact):      %.15f" % E_exact
f = open("conv.txt", "w")
for N in range(3, 384, 10):
    print "N =", N
    L = 2.
    x1d = linspace(0, L, N)
    x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

    nr = 3 * ((x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-1)**2 - 1) / pi
    ng = fftn(nr) / N**3

    G1d = N * fftfreq(N) * 2*pi/L
    kx, ky, kz = meshgrid(G1d, G1d, G1d)
    G2 = kx**2+ky**2+kz**2
    G2[0, 0, 0] = 1  # omit the G=0 term

    tmp = 2*pi*abs(ng)**2 / G2
    tmp[0, 0, 0] = 0  # omit the G=0 term
    E = sum(tmp) * L**3
    print "Hartree Energy (calculated): %.15f" % E
    f.write("%d %.15f\n" % (N, E))
f.close()

А вот график сходимости (просто построение приведенного conv.txtвыше сценария, вот блокнот, который делает это, если вы хотите поиграть с этим самостоятельно):

Как видите, конвергенция линейная, что было для меня неожиданностью, я думал, что FFT сходится гораздо быстрее, чем это.

Обновление :

У решения есть острый край на границе (я не осознавал этого раньше). Чтобы БПФ быстро сходилось, решение должно иметь все гладкие производные. Поэтому я также попробовал следующую правую часть:

nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

$V_H=\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)$$E_H = \frac{3\pi}{8}$

Кто-нибудь знает какой-нибудь эталон в 3D, чтобы я мог видеть более быструю конвергенцию, чем линейную?

Позвольте мне сначала ответить на все вопросы:

Какова теоретическая скорость сходимости для решения FFT Poison?

Теоретическая сходимость является экспоненциальной, пока решение является достаточно гладким.

Как быстро эта энергия должна сходиться?

$E_H$

Кто-нибудь знает какой-нибудь эталон в 3D, чтобы я мог видеть более быструю конвергенцию, чем линейную?

Любая правая часть, которая дает периодическое и бесконечно дифференцируемое решение (в том числе через периодическую границу), должна сходиться экспоненциально.

---

В приведенном выше коде есть ошибка, которая вызывает сходимость медленнее, чем экспоненциальная. Используя код с гладкой плотностью ( https://gist.github.com/certik/5549650/ ), следующий патч исправляет ошибку:

@@ -6,7 +6,7 @@ f = open("conv.txt", "w")
 for N in range(3, 180, 10):
     print "N =", N
     L = 2.
-    x1d = linspace(0, L, N)
+    x1d = linspace(0, L, N+1)[:-1]
     x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

     nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

Проблема заключалась в том, что реальная космическая выборка не может повторить первую и последнюю точку (которая имеет одинаковое значение из-за периодических граничных условий). Другими словами, проблема заключалась в настройке начальной выборки.

После этого исправления плотность сходится за одну итерацию, как сказал Мэтт выше. Поэтому я даже не строил графики сходимости.

Однако можно попробовать более сложную плотность, например:

     nr = 3*pi*exp(sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z))/4

тогда сходимость является экспоненциальной, как и ожидалось. Вот графики сходимости для этой плотности: