Справочный запрос: тщательный анализ алгоритмов для PDE и ODE

Я заинтересован в предложениях для книжных ссылок на предмет числовых PDE и ODE, в частности, строгий анализ таких методов в манере, написанной для профессиональных математиков. Он не должен быть чрезвычайно всеобъемлющим в смысле перечисления сотен или тысяч различных методов, но мне было бы интересно кое-что, что, по крайней мере, охватывает большинство ключевых концепций, которыми руководствуются современные методы.

Я думаю, что было бы целесообразно провести аналогии с учебниками по числовой линейной алгебре, о которых я более знаком. Я ищу что-то, что относится к ошибкам устойчивости и усечения в числовых дифференциальных уравнениях, как точность и устойчивость числовых алгоритмов Higham, к ошибкам устойчивости и округления в числовой линейной алгебре, и что-то, что обсуждает современные методы в ODE и PDE так, как это делает Голуб и Матричные вычисления Ван Лоана обсуждают большинство основных типов методов для линейной алгебры.

Я на самом деле очень мало знаю о числовых ODE и PDE. Я читал некоторые онлайн-заметки, и у меня есть книга Рэндалла Левека « Методы конечных разностей для обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных », которая является ясной книгой, но недостаточно глубокой для моих целей. В качестве более конкретного примера уровня, который я ищу, я хотел бы надеяться, что любой раздел, посвященный эллиптическим и параболическим уравнениям, предполагает, что читатель полностью знаком с теорией пространств Соболева и их вложений, а также со слабыми решениями для уравнений в частных производных, и использует результаты из этой теории довольно свободно в выводе оценок ошибок для конечных элементов и т. д.

Вы не найдете ни одной ссылки, систематически охватывающей анализ всех важных методов для PDE. Область методов дискретизации для PDE, по крайней мере, на порядок больше, чем любая из упомянутых выше тем. Для любых методов, включающих неявные решения, изучение дискретизации без учета методов решения (например, связанных многосеточных методов) является проверенным и верным способом заглянуть в «безнадежно непрактичный» угол.

Предположительно, вы знакомы с Бреннером и Скоттом, «Математическая теория методов конечных элементов» . Это текст для выпускников, и хотя в нем есть доля вводного материала, вы можете быстро получить важные результаты.

Для апостериорного анализа ошибок в FEM хорошим источником является обзорная статья Ainsworth and Oden, Апостериорная оценка ошибок в анализе методом конечных элементов , 1997 .

Для методов конечного объема вам может понравиться статья Acta Numerica Morton and Sonar, Методы конечных объемов для гиперболических законов сохранения , 2007 . Как пишут газеты Acta Numerica, это не очень цитируется. Я подозреваю, что это отчасти потому, что книга Левека очень хороша, и потому что большинство практикующих, которые не использовали его книгу, знакомы со многими первоисточниками. Хотя я не знаком с этим, вы также можете взглянуть на Bouchut, Нелинейная устойчивость методов конечных объемов для гиперболических законов сохранения .

Я подтверждаю мнение Джеда о важности рассмотрения решателей одновременно с дискретизацией. Это что-то «более чистое», что математики иногда не могут сделать, к их большому ущербу, поскольку они решают не ту проблему . Такие вещи, как блочная структура, разреженность и способность создавать предварительные кондиционеры, имеют тенденцию быть гораздо более важными, чем простые вещи, такие как количество степеней свободы / размер сетки.

Brezzi & Fortin - «Смешанные и гибридные методы конечных элементов» охватывает материалы, дополняющие Бреннера и Скотта. Однако он распечатан, и люди действительно держат свои копии, поэтому, если вы не хотите платить несколько сотен долларов, вам, вероятно, придется одолжить их в своей библиотеке.

Серия работ Rannacher и др. В начале 2000-х годов, таких как «Оптимальный подход к управлению апостериорной оценкой ошибок в методах конечных элементов», обеспечивает более глубокое и более широкое применение понимания апостериорной оценки ошибок, чем то, что объясняется у Эйнсворта и Одена. книга (на мой взгляд).

Пространства Соболева не являются основными функциональными пространствами для PDE, хотя вы можете получить такое впечатление, читая вводные книги для выпускников, такие как Эванс. Пространства Бесова являются более общими и довольно приятными и заставляют задуматься о том, как и почему определенные функциональные пространства создаются путем управления базовыми строительными блоками, чтобы обеспечить ограничения на колебания, интегрируемость и многомасштабную структуру. Хорошая «философская» статья на тему функциональных пространств - это пост Терри Тао . Книга Трибеля (в основном о пространствах Бесова) "Теория функциональных пространств II" великолепна! Между пространствами Бесова и вейвлетами существует глубокая связь, поэтому очень полезная статья ДеВора о вейвлетах.

В дополнение к замечательным рекомендациям Джеда (я могу лично поручиться за Бреннера + Скотта как за великую книгу о введении конечных элементов), отличной книгой для численного решения ОДУ является Бутчер:

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

Это было моей библией, пока моя университетская библиотека не вспомнила об этом.

Также вы можете найти Ern + Guermond как ценную книгу, если вы уже знакомы с деликатной математикой

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Прочитав несколько статей от Эрн + Гермонд, я могу сказать, что они определенно склоняются к тяжелому формализму. Главы более или менее самодостаточны по модулю некоторой записи, которую вам, возможно, придется перевернуть, чтобы получить определение.

Для PDE книга с аналогичным функционально-аналитическим вкусом, как у Эрна и Гермонда, называется D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 . Будучи учебником, а не исследовательской монографией, он более доступен, хотя и менее всеобъемлющ. С другой стороны, здесь также обсуждаются приложения (в основном в области эластичности).

Что касается ODE, я полагаю, что Библия все еще является трехтомной работой Хайрера и Ваннера ( Решение ODE I , Решение ODE II и Геометрическая числовая интеграция ).

Наконец, не пропустите множество отличных заметок для лекций, доступных в Интернете.