Написание конечно-разностной матрицы уравнения Пуассона с граничными условиями Неймана

Я заинтересован в решении уравнения Пуассона с использованием метода конечных разностей. Я хотел бы лучше понять, как написать матричное уравнение с граничными условиями Неймана. Будет ли кто-то пересмотреть следующее, это правильно?

Конечно-разностная матрица

Уравнение Пуассона,

\frac{\partial^{2} U (Икс)}{\partial {Икс}^{2}} знак равно d (Икс)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

может быть аппроксимировано конечно-разностным матричным уравнением,

\frac{1}{(Δ Икс)^{2}} M ∙ \hat{U} знак равно \hat{d}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

где - матрица а и - (столбец) векторов, $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

Разностная матрица уравнения Пуассона

Добавление граничного условия Неймана

Граничное условие Неймана обеспечивает известный поток на границе (здесь мы применяем его в левой части, где граница находится в ), $x=0$

\frac{\partial U (Икс знак равно 0)}{\partial Икс} знак равно σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$ записывающий это граничное условие как центрированную конечную разность,

Ошибка в уравнении. NB. Я изначально допустил ошибку здесь, подписал ошибку и не разделил на 2. Следующее было исправлено.

\frac{U_{2} - U_{0}}{2 Δ Икс} знак равно σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

Обратите внимание на введение точки сетки за пределы исходного домена ( ). Этот член можно исключить, введя второе уравнение, $u_0$

\frac{U_{0} - 2 U_{1} + U_{2}}{(Δ Икс)^{2}} знак равно d_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

Уравнение возникает из-за наличия большей информации из-за введения новой точки сетки. Это позволяет нам записать двойную производную как границу в терминах используя центральную разность. $u_1$ $u_0$

Часть, в которой я не уверен

Комбинируя эти два уравнения, можно исключить. Чтобы показать работу, давайте сначала перестроим для неизвестного, $u_0$

U_{0} знак равно - 2 σ Δ Икс + U_{2} U_{0} знак равно (Δ Икс)^{2} d_{1} + 2 U_{1} - U_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

Далее они устанавливаются равными и переставляются в форму,

\frac{U_{2} - U_{1}}{(Δ Икс)^{2}} знак равно \frac{d_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ Икс}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

Я выбрал эту форму, потому что она такая же, как матричное уравнение выше. Обратите внимание, что члены делятся на как здесь, так и в исходном уравнении. Это правильный подход? $u$ $(\Delta x)^2$

Наконец, используя это уравнение в качестве первого ряда матрицы,

Уравнение Пуассона с граничным условием Неймана в левой части (исправлено)

Несколько заключительных мыслей,

Является ли эта окончательная матрица правильной?
Мог ли я использовать лучший подход?
Есть ли стандартный способ написания этой матрицы?

— boyfarrell
источник

В ваших вычислениях есть две ошибки: конечная разность по центру должна делиться на . Во-вторых, также неверно, потому что минус должен быть плюсом.

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

— vanCompute

Это прекрасно проработано в тексте о конечных разностях в LeVeque , глава 2.

— Дэвид Кетчон

Эти вопросы также хорошо объяснены в Scientificpython.net/1/post/2013/01/…

— Евгений Сергеев

не могли бы вы посмотреть этот scicomp.stackexchange.com/questions/14306/…

— usumdelphini

Ответы:

Я думаю, что вы на правильном пути. Если вы исправите свои ошибки, это будет очень похоже на http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf .

— vanCompute
источник

Спасибо за комментарии и исправления. Я обновил свой вопрос с исправлениями. Я считаю, что это правильно сейчас.

— boyfarrell

$u_0$

Отойдите назад и подумайте о проблеме на секунду. Определение уравнения Лапласа в основном гласит, что каждая точка является средним числом ее соседей. Это обычно визуализируется как резиновый лист, и помогает мне думать об этих вещах. (Пуассон похож на более или менее эластичные точки)

Когда вы указываете значение поверхности решения на самых внешних краях, вы «закрепляете» лист в пространстве в этих точках. Когда вы указываете лист по его производной по краям, существует любое количество решений, которые удовлетворяют уравнению, которое переводит лист в пространство, сохраняя при этом ту же фактическую форму и, следовательно, производные.

$u_0 = 0$

— meawoppl
источник

Таким образом, в общем случае уравнение Пуассона решается хотя бы с одним граничным условием Дирихле, чтобы найти единственное решение? Я думаю, что имеет смысл, что граничные условия Неймана имеют смысл только тогда, когда источник и стоки включены, в противном случае существует бесконечное количество решений. Однако, если я вместо этого возьму уравнение диффузии, иногда для правильной физики требуются граничные условия Неймана (например, отсутствие потока величины через границу, когда du / dx = 0). Это то, что меня действительно интересует. Является ли вышеуказанный метод правильным подходом для применения Неймана BC?

— boyfarrell

Вы не можете применять БК Neumann на всех сторонах вашей бумаги. Если вы это сделаете, у вас не будет уникального решения. Он должен быть закреплен как минимум с одной стороны.

— vanCompute

@meawoppl: Как определить фиксированную точку, а также решить матрицу напрямую?

— jvriesem

Как правило, просто присваивая точку константе, устанавливая только один член в строке равным 1, остальные ноль и значение в RHS, которое соответствует плоскости решения, которую вы хотите увидеть.

— Meawoppl