Преобразует ли

Я слышал анекдотично, что когда кто-то пытается численно сделать интеграл вида

\int_{0}^{\infty} е (Икс) J_{0} (Икс) d Икс

$\int_0^\infty f(x) J_0(x)\,\mathrm{d}x$

с сглаженным и хорошо себя ведет (например, не сам колеблющийся, неособой и т. д.), то это поможет точность переписать его как $f(x)$

\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} е (Икс) соз (Икс грех θ) d Икс d θ

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty f(x) \cos(x\sin\theta) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta$

и выполнить внутренний интеграл сначала численно. Я не вижу причин, по которым стоит ожидать, что это сработает, но опять же точность численного метода редко бывает очевидной.

Конечно, я знаю, что лучший способ сделать это - использовать метод, оптимизированный для осциллирующих интегралов, как этот, но ради любопытства предположим, что я ограничусь использованием некоторого квадратурного правила. Кто-нибудь может подтвердить или опровергнуть, что выполнение этого преобразования имеет тенденцию к повышению точности интеграла? И / или указать мне источник, объясняющий это?

quadrature special-functions

— Дэвид З
источник

0 \leq θ \leq π

$0\le\theta \le\pi$

N

$N$

Q_{\infty}^{N} [\cdot]

$Q_\infty^N[\cdot]$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

Q_{π}^{N} [\cdot]

$Q_\pi^N[\cdot]$

[0, π]

$[0,\pi]$

Q_{\infty}^{N \cdot M} [f J_{0}]

$Q^{N\cdot M }_\infty[f\,J_0]$

Q_{π}^{M} [Q_{\infty}^{N} [f (x) \cos (x \sin θ)]]

$Q^M_\pi[Q_\infty^N[f(x)\,\cos(x\sin\theta)]]$

@ StefanoM да, верно.

— Дэвид З,

FWIW, один из наиболее эффективных методов оценки функции Бесселя нулевого порядка - это правило трапеции, которое, как известно, дает очень точные результаты при интегрировании периодических интегрирований за один период (даже лучше, чем обычный стандарт, квадратура Гаусса). Итак: это может помочь, это не может.

— JM

$\theta$ $J_0$ $n$ $x$ $f(x) = e^{-x} x^2$ $[0, x_\text{max}]$ $x_\text{max}$ ниже. Я получил:

 n      direct         rewritten
 1  0.770878284949  0.770878284949
 2  0.304480978430  0.304480978430
 3  0.356922151260  0.356922151260
 4  0.362576361509  0.362576361509
 5  0.362316789057  0.362316789057
 6  0.362314010897  0.362314010897
 7  0.362314071949  0.362314071949
 8  0.362314072182  0.362314072182
 9  0.362314072179  0.362314072179
10  0.362314072179  0.362314072179

$n=9$

Вот код:

from scipy.integrate import fixed_quad
from scipy.special import jn
from numpy import exp, pi, sin, cos, array

def gauss(f, a, b, n):
    """Gauss quadrature"""
    return fixed_quad(f, a, b, n=n)[0]

def f(x):
    """Function f(x) to integrate"""
    return exp(-x) * x**2

xmax = 3.

print " n      direct         rewritten"
for n in range(1, 20):
    def inner(theta_array):
        return array([gauss(lambda x: f(x) * cos(x*sin(theta)), 0, xmax, n)
            for theta in theta_array])
    direct = gauss(lambda x: f(x) * jn(0, x), 0, xmax, n)
    rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi
    print "%2d  %.12f  %.12f" % (n, direct, rewritten)

xmax $[0, \infty]$ f(x)rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi

— Ондржей Чертик
источник

Я подозреваю, что вы правы, мои собственные тесты показали аналогичные результаты.

— Дэвид Z