PDE во многих измерениях

Я знаю, что большинство методов поиска приближенных решений для PDE плохо масштабируются в зависимости от количества измерений, и что метод Монте-Карло используется для ситуаций, требующих ~ 100 измерений.

Каковы хорошие методы для эффективного численного решения PDE в ~ 4-10 измерений? 10-100?

Есть ли какие-либо методы, кроме Монте-Карло, которые хорошо масштабируются в зависимости от количества измерений?

pde monte-carlo high-dimensional

— Дэн
источник

Это может помочь предоставить немного больше информации о типе проблемы, которую вы решаете. Большинство PDE, обрабатываемых в вычислительной науке, имеют тенденцию быть максимально четырехмерными (время плюс три пространственных измерения). Переменные пространственные или временные, или есть другие зависимости, которые вы включаете?

— Aeismail

Пространственные переменные. В квантовой механике, если вы не хотите делать приближения, которые вы используете в теории функционала плотности или Хартри-Фока, волновая функция является

мерной, где

- число электронов. Таким образом, даже маленькие атомы и молекулы требуют большого количества измерений для правильной обработки.

3 n

$3n$

n

$n$

— Дан

Многое зависит от того, какую информацию вы хотите узнать о решении. Едва ли хочется знать каждую деталь о волновой функции

. Таким образом, нужно приспособить вычислительную технику к фактически желаемой информации.

n

$n$

— Арнольд Ноймайер

Приведите ссылку на решение Монте-Карло электронного уравнения Шредингера в 100 измерениях.

— Арнольд Ноймайер,

У меня нет ссылки. Я только слышал о симуляциях во многих измерениях, используемых для КХД. Я только собираюсь выполнить симуляцию Шредингера в 4-5 измерениях, но мне было интересно, хорошо ли масштабируется что-либо, кроме Монте-Карло, с количеством измерений, и 100 казалось хорошим, большим круглым числом для получения асимптотического масштабирования.

— Дан

Ответы:

Более структурированный способ предоставления основы или квадратуры (которая может заменить MC во многих случаях) в нескольких измерениях - это метод разреженных сеток , который объединяет некоторое семейство одномерных правил различного порядка таким образом, чтобы иметь просто экспоненциальный рост в измерение, , вместо того, чтобы иметь это измерение, является показателем разрешения . $2^d$ $N^d$

Это делается с помощью так называемой квадратуры Смоляка, которая объединяет ряд одномерных правил виде $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Это эквивалентно квадратурному пространству тензорного произведения с высокими смешанными порядками, удаленными из пространства. Если это делается достаточно серьезным образом, сложность может быть значительно улучшена. Однако для того, чтобы можно было сделать это и поддерживать хорошее приближение, регулярность решения должна иметь достаточно исчезающие смешанные производные.

Разреженные сетки были забиты до смерти группой Грибеля за такие вещи, как уравнение Шредингера в конфигурационном пространстве и другие высокомерные вещи с довольно хорошими результатами. В приложении используемые базовые функции могут быть довольно общими, если вы можете их вкладывать. Например, плоские волны или иерархические основы являются общими.

Также довольно просто кодировать себя. По моему опыту, на самом деле заставить его работать на эти проблемы, однако, очень сложно. Хороший учебник существует.

Для задач, решения которых живут в специализированных пространствах Соболева с быстро растекающимися производными, подход с разреженной сеткой потенциально может дать еще большие результаты .

См. Также обзорный документ Acta Numerica, Редкие тензорные дискретизации многомерных параметрических и стохастических уравнений в частных производных .

— Питер Брюн
источник

Есть ли хорошо известные примеры, где разреженные сетки не применимы?

— MRocklin

Тебе действительно нужна регулярность. Кроме того, если у вас неприятные каспы (как в QM), вы должны быть осторожны. Я слышал несколько историй о клике разреженной Сетки начинает уступать (с доказательствами даже) , что это не так, что намного лучше , чем Монт-Карло, но не могу найти хорошую ссылку.

— Питер Брюн

Что ж, статья о разреженной сетке для Шредингера, о которой вы упоминали, рассматривает только 2 электрона. Сколько электронов на самом деле можно отследить методом?

— Арнольд Ноймайер,

Как правило, легко понять, почему регулярные сетки не могут выходить далеко за рамки 3-х или 4-мерных задач: в d-измерениях, если вы хотите иметь минимум N точек на направление координат, вы получите N ^ d очки в целом. Даже для относительно хороших функций в 1d вам нужно как минимум N = 10 точек сетки, чтобы разрешить их вообще, поэтому общее количество точек будет 10 ^ d, т.е. даже на самых больших компьютерах вы вряд ли выйдете за пределы d = 9, и, вероятно , не идти далеко за пределы когда - либо . Разреженные сетки могут помочь в некоторых случаях, если функция решения имеет определенные свойства, но в целом вам придется смириться с последствиями проклятия размерности и использовать методы MCMC.

— Вольфганг Бангерт
источник

Что означает MCMC?

— Дан

Марковская цепь Монте-Карло: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Джек Полсон,

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— Пол
источник

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$