Когда следует использовать неявные методы в интеграции гиперболических PDE?

Численные методы решения PDE (или ODE) делятся на две большие категории: явные и неявные методы. Неявные методы допускают большие стабильные временные шаги, но требуют больше работы за шаг. Для гиперболических PDE распространенным мнением является то, что неявные методы обычно не окупаются, потому что использование временных шагов, больших, чем те, которые допускаются условием CFL, приводит к очень неточным результатам. Однако в некоторых случаях используются неявные методы. Для данного приложения, как выбрать, использовать ли явный или неявный метод?

Главный вопрос в том, какие физические процессы (волны или термины источника) имеют временные масштабы, которые вы хотите решить, и которые вы бы предпочли перешагнуть. Если вас не интересует самый быстрый масштаб времени в системе, то уравнения называются «жесткими». Гиперболические законы сохранения обычно записываются в виде систем первого порядка.

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

где содержит консервативные переменные, F - поток, а G называется «исходным термином». Обратите внимание , что с этой терминологией, поток F не содержит производных, поэтому диффузионные и дисперсионные члены должны идти в G . Весьма распространено использовать неявную или полуявную интеграцию, когда термины источника жесткие, как со многими проблемами химической реакции и когда присутствует диффузия или дисперсия. Химическая реакция обычно может быть неявно решена локально в каждом элементе, поскольку она не связана с соседними клетками.$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

Например, если вы моделируете эволюцию океана в течение длительного времени, вас могут не интересовать поверхностные гравитационные волны (например, цунами). К сожалению, изменение скорости волны (либо замедление ее использования явных методов, либо приведение к модели с «жесткой крышкой», которая может использовать проекцию) меняет физику, изменяя способ распространения вихрей. Вихри в океане - это эффект, когда гравитационная волна почти уравновешена конвекцией, но не совсем.

Другим примером является сжимаемый Эйлер, например, поток воздуха через центр обработки данных. Скорость акустической волны намного выше, чем конвекция, и только последняя важна для теплопередачи. Если вы не заинтересованы в акустике, вы можете использовать неявный метод.

Относительная эффективность неявного метода зависит от затрат на решение алгебраических систем на каждом шаге / этапе по сравнению с размером шага, который можно использовать с явными методами. Эффективное решение таких алгебраических систем является активной темой исследований. (Сделайте еще один вопрос, и я отвечу на него и ссылку здесь.)

Вы также можете использовать неявные методы, если:

• ваши уравнения имеют значимые устойчивые состояния, которые вы хотите исследовать напрямую, возможно, для характеристики стабильности
• Вы решаете проблемы обратного / ассимиляции данных, связанные с долгой историей
• Вы хотите обойти барьеры порядка, чтобы использовать методы интеграции времени очень высокого порядка с определенными свойствами стабильности
• вы используете пространственно-временные адаптивные методы
• вы используете пространственную дискретизацию, которая уже требует решения алгебраической системы (например, непрерывные методы конечных элементов с согласованной матрицей масс)