-сходимость метода конечных элементов, когда правая часть находится только в

Я знаю, что кусочно-линейное приближение конечных элементов $u_h$ из

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$ удовлетворяет

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$ при условии, что

U

$U$ достаточно гладко и

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$ ,

Вопрос: если $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ Имеем ли мы следующую аналогичную оценку, в которой одна производная отводится с обеих сторон:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

Можете ли вы предоставить ссылки?

Мысли: Так как у нас еще есть $u\in H^1_0(U)$ должно быть возможно получить сходимость в $L^2(U)$ , Интуитивно понятно, что это должно быть возможно даже с кусочно-постоянными функциями.

— Bananach
источник

Я думаю, что вы получите

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ от стандартного ниче трюка даже для

u \in H^{1}

$u \in H^1$ , Вы можете найти это, например, в Braess - Finite elements.

— КНЛ

Да , это стандартная уловка Обина-Ницше (или двойственность ). Идея состоит в том, чтобы использовать тот факт, что $L^2$ это свое собственное двойственное пространство, чтобы написать $L^2$ норма как операторная норма

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Таким образом, мы должны оценить для произвольного . Для этого мы «поднимаем» до , рассматривая сначала для произвольной решение двойной задачи Используя стандартную регулярность уравнения Пуассона, мы знаем, что

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Вставка в и использование ортогональности Галеркина для любого конечного элемента (в вашем случае кусочно-линейной) функции дает оценку Так как это верно для всех , неравенство все еще верно, если мы возьмем инфимум по всем кусочно-линейным . Поэтому мы получаем $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Это Обин-Ницше-Лемма .

Следующим шагом теперь является использование стандартных оценок ошибок для наилучшего приближения конечных элементов решений уравнения Пуассона. Поскольку находится только в , мы не получим лучшую оценку, чем Но, к счастью, мы можем использовать тот факт, что имеет более высокую регулярность, так как правая часть вместо . В этом случае у нас есть Вставка и в $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ теперь дает желаемую оценку.

(Обратите внимание, что стандартные оценки требуют, чтобы полиномиальная степень приближения конечных элементов и показатель Соболева истинного решения удовлетворяли , поэтому этот аргумент не работает для кусочно-постоянной ( ) аппроксимации. Мы также использовали это - то есть, что у нас есть соответствующее приближение - что не верно для кусочно-постоянных.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Поскольку вы просили ссылку: вы можете найти утверждение (даже для отрицательных пространств Соболева вместо ) в теореме 5.8.3 (вместе с теоремой 5.4.8) в $H^{-s}$ $L^2$

Сюзанна К. Бреннер и Л. Риджуэй Скотт , MR 2373954 Математическая теория методов конечных элементов , Тексты в прикладной математике ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Кристиан Клэйсон
источник

И я могу использовать нашу новую блестящую функцию цитирования :)

— Кристиан

Спасибо за ваш ответ, но непрерывные функции не встроены в не так ли?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Бананач

Да, извините, я там погладил - они плотные, но не встроенные. Однако аргумент двойственности работает так же (просто работайте с и напрямую). Я отредактирую свой ответ соответственно.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Кристиан

Спасибо за обширное обновление. И за нахождение еще одной блестящей цитаты

— Bananach

@ Praveen Я не думаю, что тебе здесь нужна теория. Просто выберите для постоянного нуля.

v_{h}

$v_h$

— Бананач