В FEM, почему матрица жесткости положительно определена?

10

В классах FEM обычно считается само собой разумеющимся, что матрица жесткости положительно определена, но я просто не могу понять, почему. Кто-нибудь может дать какое-нибудь объяснение?

Например, мы можем рассмотреть проблему Пуассона: матрица жесткости которой: которая является симметричным и положительно определенным. Симметрия является очевидным свойством, но положительная определенность не так уж точна для меня.

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— user123
источник

1

Это на самом деле зависит от уравнения в частных производных, которое вы пытаетесь решить. Можете ли вы добавить тот, который вас интересует?

— Кристиан Класон

Привет, @ChristianClason, спасибо за твой комментарий. Я добавил конкретный пример этой проблемы.

— user123

3

Предостережение: без граничных условий полная матрица жесткости системы, собранная из элементных матриц, не имеет полного ранга, поскольку должна отображать эквивалент движений твердого тела в ноль сил. Таким образом, полная матрица жесткости может в лучшем случае быть положительной полуопределенной. Однако при надлежащих граничных условиях движения твердого тела отключаются, и тогда связанная система не является особой. (В противном случае никто не мог бы решить это). Поэтому, чтобы найти фактическую положительную определенность, вы должны взглянуть на сжатую матрицу, полученную в результате применения граничных условий.

— кукуруза

13

Свойство следует из свойства соответствующего (слабая форма) уравнения в частных производных; это одно из преимуществ методов конечных элементов по сравнению, например, с методами конечных разностей.

Чтобы убедиться в этом, сначала напомним, что метод конечных элементов начинается со слабой формы уравнения Пуассона (я предполагаю, что здесь граничные условия Дирихле): найдите такой что Важным свойством здесь является то, что (Это следует из неравенства Пуанкаре.) $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Теперь классический элемент подход конечен, чтобы заменить бесконечное пространство на конечномерном подпространстве и найти таким образом, что Важным свойством здесь является что вы используете одно и то же и подпространство ( соответствующая дискретизация); это означает, что у вас все еще есть $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Теперь о последнем шаге: чтобы преобразовать вариационную форму в систему линейных уравнений, выберите базис из , запишите и вставьте , в . Матрица жесткости имеет записи (что совпадает с тем, что вы написали). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Теперь возьмите произвольный вектор и установите . Тогда мы имеем и билинейность (т.е. вы можете переместить скаляры и суммы в оба аргумента) Поскольку было произвольным, это означает, что положительно определен. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: матрица жесткости положительно определена, потому что она исходит из соответствующей дискретизации (самосопряженного) эллиптического уравнения в частных производных .

— Кристиан Клэйсон
источник

2

Если жесткость элемента не является положительной, то система не является стабильной. Так что модель скорее всего не правильная. Посмотрите на самое основное уравнение гармонического осциллятора

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

Решение нестабильно, если отрицательно (посмотрите на корни характеристического уравнения). Это означает, что решение взорвется. Жесткость должна быть восстанавливающей силой. По крайней мере, для физической весны. Матрица жесткости распространяется на большое количество элементов (глобальная матрица жесткости). Это все. Но это та же основная идея. Основой FEM является метод матрицы жесткости для структурного анализа, где каждый элемент имеет жесткость, связанную с ним. $k$

— Nasser
источник