Рекомендации для вложенных прекондиционеров

Рассмотрим ситуацию, когда вы хотите решить линейную систему, используя метод Крылова с предобусловливанием, но применение самого предобусловливателя включает решение вспомогательной системы, что выполняется с помощью другого метода Обусловливания Крылова.

• С одной стороны, вы можете запустить внутреннее решение для конвергенции в каждом шаге внешнего решения.

• С другой стороны, вы вообще не могли бы выполнить внутреннее решение, а вместо этого заменить его внутренним предварительным кондиционером.

• Где-то посередине вы можете обрезать внутренний цикл Крылова после некоторого фиксированного числа итераций или после достижения определенного допуска.

Опытным путем я сталкивался с ситуациями, когда первая крайность лучше, и разными ситуациями, когда вторая крайность лучше (с точки зрения общей стоимости). Тем не менее, я не могу найти четкой причины, по которой определенные ситуации предпочитают одну стратегию другой.

Есть ли какое-либо руководство или теория о том, когда эти разные стратегии предпочтительнее?

Этот вопрос был открыт давно, но я думаю, что он все еще заслуживает ответа.

Основная проблема с использованием решателей пространства Крылова на отдельных блоках в качестве внутренних предобусловливателей состоит в том, что они не являются линейными операторами. Чтобы понять это, давайте обозначим через$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$ вектор, который вы получаете в качестве решения, запустив метод пространства Крылова $K$ на линейной системе $Ax=b$ самое большее $N$ итерации или до допуска $\tau$ достигается с помощью предварительного кондиционера $P\approx A^{-1}$, Другими словами, вы можете думать о$K$ как оператор, который действует на $b$,

Теперь обратите внимание, что $K(A,P,0,\infty;\cdot)$ является линейным оператором: это потребует решения $Ax=b$ точно, т.е. $K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$, который является линейным в $b$, Во многих случаях запуск метода пространства Крылова для ровно одной итерации, начиная с нулевого вектора, также является линейным оператором, применяемым к$b$, Но поскольку последовательность векторов Крылова зависит от начального остатка$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$, Оператор $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ вообще не является линейным оператором для конечного $N$ а также $\tau$,

Это означает, что если вы используете $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ как часть предварительного кондиционера для линейной системы, в которой $A$ один блок, то вы получите предварительный кондиционер, который не действует как линейный оператор.

Это противоречит многим другим методам, которые используются для предварительной обработки: например, один шаг SSOR является линейной операцией над вектором, к которому вы его применяете, как и все другие методы, которые применяют один шаг итерации с фиксированной запятой.

Основная проблема теперь состоит в том, что большинство методов пространства Крылова требуют, чтобы предобусловливатель был линейным оператором. Они просто не будут сходиться, если предварительный кондиционер не является линейным, что объясняет ваше наблюдение. С другой стороны, существуют варианты некоторых пространственных методов Крылова - обычно с префиксом слова «Гибкий», таких как F-GMRES в «Гибком GMRES» - которые работают вокруг этого и могут иметь дело с прекондиционерами, которые не являются линейными операторы. Эти гибкие варианты исходных методов будут по-прежнему сходиться и часто являются мощными методами в сочетании с хорошими (но нелинейными) предварительными кондиционерами.