Взвешенная проблема СВД?

Учитывая две матрицы и , я хотел бы найти векторы и , такие, что В матричной форме я пытаюсь минимизировать норму Фробениуса для . $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

В общем, я хотел бы найти несколько единичных векторов $x$ и $y$ в форме

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ где

s_{i}

$s_i$ - положительные действительные коэффициенты.

Это эквивалентно разложению по сингулярному значению (SVD), когда $(B)_{ij} = 1$ .

Кто-нибудь знает, как называется эта проблема? Существует ли известный алгоритм типа SVD для решения такой проблемы?

(перенесено из математики. SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Memming
источник

Я считаю, что это обобщенный СВД . Запись в Википедии не очень подробная, поэтому вам, вероятно, стоит проверить связанные источники. В частности, страница 466 этой ссылки на книги Google может быть полезной.

— Ely

Для меня это не похоже на обобщенную СВД. В частности, поскольку B не обязательно является диагональным или симметричным, поэтому каждый или может появляться в сумме много раз.

x

$x$

y

$y$

— Виктор Лю

B не обязательно должен быть диагональным или симметричным в обобщенном SVD. Обе ссылки, которые я привел, указывают, что A и B могут быть общими комплексными матрицами размерности M-by-N и P-by-N соответственно.

— Ely

Спасибо за предложение @EMS. Буду признателен, если вы сможете разработать связь.

— Memming

Это далеко от обобщенного СВД.

Если B - положительная матрица, вы можете использовать мой пакет BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

В документе http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf, где описывается метод, также даются ссылки, которые вы можете рассмотреть для поиска литературы.

— Арнольд Ноймайер
источник

Ах, преобразование задачи в весовое приближение низкого ранга! Большое спасибо!

— Memming

Чтобы добавить подробности к ответу @ Арнольда, эту задачу можно преобразовать в задачу взвешенного приближения низкого ранга, где цель состоит в том, чтобы минимизировать взвешенную норму вместо нормы Фробениуса. где и обозначает произведение Шура (иначе Продукт Адамара).

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— Memming

Да. Это дает хорошее название вашей проблемы. Как решить это другое дело. Это не стандартная проблема, и было довольно сложно найти быстрый и надежный алгоритм.

— Арнольд Ноймайер

@ArnoldNeumaier это здорово, спасибо. Можно ли получить лицензию и уведомление об авторских правах с вашим кодом? Как сейчас это проприетарное программное обеспечение. Если вы выпустите его под GPLv3 или совместим, он может найти путь к пакету линейной алгебры GNU Octave.

— JuanPi