Есть ли способ сделать «двойную предобработку»

15

Вопрос:

Предположим, что у вас есть два разных (факторизованных) предобусловливателя для симметричной положительно определенной матрицы : и где обратные множители являются легко наносится. $A$

A \approx В^{T} В

$A \approx B^TB$

A \approx С^{T} С,

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

Когда можно использовать информацию как и , чтобы построить лучший предобуславливатель чем либо или в одиночку? $B$ $C$ $B$ $C$

— Ник Алджер
источник

13

Вы можете использовать добавку

п_{a}^{- 1} Икс знак равно (В^{T} В)^{- 1} Икс + (С^{T} С)^{- 1} Икс,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

мультипликативный

п_{м}^{- 1} Икс знак равно (В^{T} В)^{- 1} Икс + (С^{T} С)^{- 1} (Икс - A (В^{T} В)^{- 1} Икс),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

или симметричный мультипликативный. Методы этого класса доступны в PETSc, используя PCCOMPOSITE в PETSc. Например,

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

В руководстве пользователя есть раздел «Объединение предварительных кондиционеров».

— Джед браун
источник

Отлично, спасибо! Известно ли вам о какой-либо теории или работах, в которых обсуждаются условия, при которых эти комбинации будут эффективными или неэффективными, или это всего лишь метод проб и ошибок?

— Ник Алджер

Как и в случае всех предварительных условий, анализ проводится в терминах спектра предварительно подготовленного оператора, часто выражаемого через обобщенную проблему собственных значений. Интуитивно понятно, что если каждый прекондиционер нацелен на разные процессы или разные части спектра, целью комбинации является исправление обеих частей. Наиболее успешные подходы этого класса основаны на коррекции подпространства, которая включает многосетку, декомпозицию домена и разбиение поля (литература для каждого). У PETSc есть более специализированные предварительные кондиционеры для выявления параллелизма или повторного использования промежуточных результатов в этих случаях.

— Джед Браун

1

В дополнение к превосходному ответу Джеда, метод, который я недавно нашел, заключается в переключении между предварительными кондиционерами на каждом втором этапе гибкой GMRES (FGMRES), как это делается, например, в

Тездуяр Т.Е. и соавт. «Новый смешанный метод предобусловливания для расчетов методом конечных элементов». Компьютерные методы в прикладной механике и технике 99.1 (1992): 27-42. http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— Ник Алджер
источник