Несколько контуров управления с перекрывающимися эффектами

Я знаком с использованием PID для выполнения управления в замкнутом контуре, когда имеется один выход и один сигнал ошибки для того, насколько хорошо выход достигает желаемой уставки.

Предположим, однако, что есть несколько контуров управления, каждый с одним выходом и одним сигналом ошибки, но контуры не являются полностью независимыми. В частности, когда один контур увеличивает свой сигнал привода, это меняет влияние выхода из других контуров в системе.

Для конкретного примера представим источник напряжения, включенный последовательно с резистором, подающим напряжение на систему из шести регулируемых резисторов параллельно. Мы можем измерить ток через каждый резистор, и мы хотим контролировать ток каждого резистора независимо, регулируя сопротивление. Конечно, хитрость заключается в том, что когда вы настраиваете сопротивление одного резистора, это изменяет общее сопротивление параллельного набора, что означает, что оно меняет падение напряжения из-за делителя с сопротивлением источника напряжения и, следовательно, меняет ток через другие резисторы. ,

Теперь ясно, что у нас есть идеальная модель для этой системы, поэтому мы можем предсказать, какое сопротивление мы должны использовать для всех резисторов одновременно, решая ряд линейных уравнений. Однако весь смысл управления с обратной связью состоит в том, что мы хотим исправить различные неизвестные ошибки / отклонения в системе, которые отклоняются от нашей идеальной модели. Тогда возникает вопрос: что является хорошим способом для реализации управления с обратной связью, когда у вас есть модель с такой перекрестной связью?

control pid

— Дэн Брайант
источник

Как правило , с м есколько я Nput, м есколько о utput (MIMO) , системы, инженер управления использует контроллер состояния обратной связи . Этот стиль контроллера использует модель системы в пространстве состояний и обычно принимает вид:

\dot{Икс} знак равно A Икс + В U Y знак равно С Икс + D U

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

где - вектор состояний, - вектор входов, - вектор выходов, а производная по времени от состояний, , показывает, как состояния развиваются во времени, что определяется комбинациями состояний и входов . Выходы также определяются взаимодействием между состояниями и входами, а выходы могут быть любой комбинацией, так что выходное состояние и входные матрицы различны - и . $x$ $u$ $y$ $\dot{x}$ $\mbox{A}$ $\mbox{B}$ $\mbox{C}$ $\mbox{D}$

Я не буду вдаваться в подробности относительно элементов управления с обратной связью по состоянию, но в целом матрицы «отображают» или связывают определенное состояние или вход с другим состоянием или входом. Например, если вы хотите смоделировать систему несвязанных дифференциальных уравнений, вы получите что-то вроде: $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

которое представляет собой:

\dot{Икс} знак равно [\begin{array}{ccc} {\dot{Икс}}_{1} \\ {\dot{Икс}}_{2} \\ {\dot{Икс}}_{3} \end{array}] знак равно [\begin{array}{ccc} К_{1} & 0 & 0 \\ 0 & К_{2} & 0 \\ 0 & 0 & К_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \end{array}]

{\dot{Икс}}_{1} знак равно К_{1} {Икс}_{1} {\dot{Икс}}_{2} знак равно К_{2} {Икс}_{2} {\dot{Икс}}_{3} знак равно К_{3} {Икс}_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

Если вы хотите добавить вход к уравнению и вход до , то вы можете добавить термин: $u_1$ $\dot{x}_1$ $u_2$ $\dot{x}_3$ $\mbox{B}u$

\dot{Икс} знак равно [\begin{array}{ccc} {\dot{Икс}}_{1} \\ {\dot{Икс}}_{2} \\ {\dot{Икс}}_{3} \end{array}] знак равно [\begin{array}{ccc} К_{1} & 0 & 0 \\ 0 & К_{2} & 0 \\ 0 & 0 & К_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} U_{1} \\ U_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Если вы хотите сохранить это, но считаете, что состояние способствует изменению , вы можете добавить это взаимодействие: $x_1$ $x_2$

\dot{Икс} знак равно [\begin{array}{ccc} {\dot{Икс}}_{1} \\ {\dot{Икс}}_{2} \\ {\dot{Икс}}_{3} \end{array}] знак равно [\begin{array}{ccc} К_{1} & 0 & 0 \\ К_{{Икс}_{1} \to {Икс}_{2}} & К_{2} & 0 \\ 0 & 0 & К_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} U_{1} \\ U_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Когда вы пишете это сейчас, вы получаете:

\begin{matrix} {\dot{Икс}}_{1} & знак равно & К_{1} {Икс}_{1} + U_{1} \\ {\dot{Икс}}_{2} & знак равно & К_{{Икс}_{1} \to {Икс}_{2}} {Икс}_{1} + К_{2} {Икс}_{2} \\ {\dot{Икс}}_{3} & знак равно & К_{3} {Икс}_{3} + U_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ $\mbox{A}$

$\mbox{A}$

Вы также можете оценить систему, чтобы увидеть, является ли она управляемой. Это означает, что вы можете использовать свои входные данные для уникального изменения всех состояний, а также проверить, является ли она наблюдаемой. Это означает, что вы можете определить, какие значения состояния есть.

$-\mbox{G}x$

\dot{Икс} знак равно A Икс + В (U - г Икс) Y знак равно С Икс + D U

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

который становится:

\dot{Икс} знак равно A Икс - BG Икс + В U Y знак равно С Икс + D U

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

который можно переставить как:

\dot{Икс} знак равно [A - BG] Икс + В U Y знак равно С Икс + D U

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

$\mbox{A}$ $\mbox{A-BG}$ $\mbox{G}$

$y$ $\hat{y}$ $R\times I$

Как я уже сказал, есть тонны информации , участвующая в моделировании систем и разработке государственных контроллеров обратной связи, я только что изложили общий процесс , как я считаю , что это сфера вы искали с вашим вопросом.

— Чак
источник

Спасибо, это отличная основа для дальнейших исследований.

— Дэн Брайант

отличный ответ, тл; д-р; скалярные значения, описывающие систему SISO, становятся матрицами для системы MIMO, "перекрестная связь" можно увидеть в недиагональных значениях в матрицах.

— Изгибное устройство 22