В PID-контроле, что представляют собой полюсы и нули?

Всякий раз, когда я читаю текст о контроле (например, ПИД-контроле), он часто упоминает «полюса» и «нули». Что они подразумевают под этим? Какое физическое состояние описывает полюс или ноль?

Функция которая описывает, как входы в систему отображаются на выход системы, называется передаточной функцией.$T(\mathbf{x})$

Для линейных систем передаточная функция может быть записана как где и - многочлены, т. Е.N D T ( x ) = N ( x$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Нули системы - это значения которые удовлетворяют утверждению . Другими словами, они являются корнями многочлена . Как . приближается к нулю, числитель передаточной функции (и, следовательно, самой передаточной функции) приближается к значению 0.N ( x ) = 0 N ( x ) N ( x$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

Аналогично полюсами системы являются значения которые удовлетворяют утверждению . Другими словами, они являются корнями многочлена . Когда приближается к полюсу, знаменатель передаточной функции приближается к нулю, а значение передаточной функции приближается к бесконечности.D ( x ) = 0 D ( x ) D ( x$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Поляки и нули позволяют нам понять, как система будет реагировать на различные входные данные. Нули интересны своей способностью блокировать частоты, в то время как полюсы предоставляют нам информацию о стабильности системы. Обычно мы строим полюсы и нули в комплексной плоскости и говорим, что система с ограниченным входом (BIBO) стабильна, если полюсы расположены в левой половине комплексной плоскости (LHP - левая полуплоскость).

Наконец, когда мы проектируем контроллер, мы фактически манипулируем его полюсами и нулями, чтобы достичь определенных параметров проектирования.

Эти полиномиальные передаточные функции возникают, когда вы выполняете преобразование Лапласа для некоторого линейного дифференциального уравнения, которое либо фактически описывает вашего робота, либо является результатом линеаризации динамики робота в некотором желаемом состоянии. Думайте об этом как о "расширении Тейлора" вокруг этого государства.

Преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье на функции, которые не являются периодическими. В электротехнике преобразование Лапласа интерпретируется как представление системы в частотной области , то есть описывает, как система передает любые частоты из входного сигнала. Нули тогда описывают частоты, которые не передаются. И, как уже упоминалось в DaemonMaker, полюса важны при рассмотрении стабильности системы: передающая функция системы уходит в бесконечность вблизи полюсов.

Что они означают в контексте управления:

Поляки : они говорят вам, стабильна система или нет (это может быть также новая система, в которую вы вставили петлю обратной связи с законом управления). Обычно вы хотите, чтобы система была стабильной. Итак, вы хотите, чтобы все полюса системы находились в левой полуплоскости (т.е. действительные части полюсов должны быть меньше нуля). Полюса - это собственные значения матрицы вашей системы . То, как далеко они находятся в левой полуплоскости, говорит о том, как быстро система приближается к состоянию покоя. Чем дальше они находятся от мнимой оси, тем быстрее сходится система.

Нули : они могут быть удобны, если у вас есть полюс в правой полуплоскости или все еще в левой полуплоскости, но слишком близко к воображаемой оси: с помощью умной модификации вашей системы вы можете сдвинуть нули на ненужные полюсы, чтобы уничтожить им .

Я не могу действительно говорить за нули передаточной функции, но полюсы передаточной функции определенно имеют осмысленную интерпретацию.

Чтобы понять эту интерпретацию, вы должны помнить, что система, которой мы хотим управлять, на самом деле одна из двух вещей: либо дифференциальное уравнение, либо разностное уравнение. В любом случае, общий подход к решению этих уравнений заключается в определении их собственных значений. Что еще более важно, когда система является линейной, собственные значения дифференциального / разностного уравнения точно соответствуют полюсам передаточной функции. Итак, получая полюса, вы действительно получаете собственные значения исходного уравнения. Именно собственные значения исходного уравнения (на мой взгляд) действительно определяют устойчивость системы; это просто удивительное совпадение, что полюсы линейной системы - это в точности собственные значения исходного уравнения.

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим два случая отдельно:

Случай 1: дифференциальное уравнение

Когда все собственные значения дифференциального уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то все траектории (т.е. все решения) приближаются к равновесному решению в начале координат (x = 0). Это связано с тем, что решения дифференциального уравнения обычно имеют вид экспоненциальной функции, такой как , где - собственное значение. Таким образом, функция как только если . В противном случае, если , величина с большой вероятностью увеличится до бесконечности или просто не сойдет к нулю. λ x ( t ) → 0 t → ∞ R e ( λ ) < 0 R e ( λ ) ≥ 0 e λ $x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Случай 2: разностное уравнение

Когда все собственные значения разностного уравнения меньше 1, то все траектории (т. Е. Все решения) приближаются к равновесному решению в начале координат (x = 0). Это связано с тем, что решения разностного уравнения обычно имеют вид экспоненциальной последовательности, такой как , где - собственное значение. Таким образом, последовательность как только если . В противном случае, если , величина увеличится до бесконечности по величине или просто не сойдет к нулю. λ x t → 0 t → ∞ | λ | < 1 | λ | ≥ 1 λ $x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

В любом случае полюсы системной функции и собственные значения (однородного) дифференциально-разностного уравнения - это одно и то же! По моему мнению, для меня имеет больше смысла интерпретировать полюса как собственные значения, потому что собственные значения объясняют условие устойчивости более естественным способом.