Квантовый алгоритм для числа Бога


9

Божье число является худшим случаем Божьего алгоритма, который

понятие, возникающее в обсуждении способов решения головоломки кубика Рубика, но которое также может быть применено к другим комбинаторным головоломкам и математическим играм. Это относится к любому алгоритму, который дает решение, имеющее наименьшее количество возможных ходов, идея состоит в том, что всезнающее существо будет знать оптимальный шаг из любой данной конфигурации.

Для вычисления числа Бога, равного 20, потребовалось «35 CPU-лет простоя (классического) компьютерного времени».

Какое ускорение может быть достигнуто с помощью квантового подхода?


1
«Божье число» для комбинаторных головоломок связано с диаметром графа, подобного Кэли, то есть наибольшим наименьшим путем на графе. Я не думаю, что обобщенная проблема дляn×n×n головоломки в NP, Я не изучал этот документ - arxiv.org/abs/quant-ph/0303131 - но я думаю, что он требует ускорения Гровера по сравнению с классическим.
Марк С


1
Вы можете задать такой вопрос для всего, что трудно вычислить. Это не кажется очень конструктивным. Почему вы думаете, что эта конкретная проблема может представлять интерес для квантовых алгоритмов?
Норберт Шух

@ Норберт Шух: Я работаю над квантовыми вычислениями. Для меня это действительно интересная проблема (и я думаю, что всем, кто интересуется квантовой комбинаторной оптимизацией).
Мяуцз

1
См. Также mathoverflow.net/questions/77836/… с родственного сайта.
Марк С

Ответы:


4

Мы можем думать о кубе кубика рубика граф Кэли Γ=(V,E) с каждым (цветным) краем E будучи одним из движений Singmaster U,U2,U3=U1,D,D2,D3, и каждая вершина V будучи одним из 432520032744898560004.3e19 различные конфигурации 3×3×3 кубики.

Диаметр графа самый длинный путь , короткий в графике. Классический алгоритм определения диаметра полиномиален по|V|; см., например, этот ответ с родственного сайта.

Как упомянуто выше, число Бога (связано с) этим диаметром; чтобы узнать самый длинный кратчайший путь между вершинами для графа Кэли на группе, достаточно знать, на сколько шагов от разрешенного состояния один. Мы знаем, благодаря Рокицки, Коциембе, Дэвидсону и Детриджу, что число Бога20, Алгоритмы, которые они выполняли, были полиномиальными в|V|например, полином в 4.3e19,

Квантовый алгоритм Хайлигмана для диаметра графа, упомянутый в комментариях, обеспечивает ускорение по Гроверу по сравнению с алгоритмами Джикстры с «общей квантовой стоимостью O(|V|9/4)«Однако я считаю, что Хейлигман кодирует граф так же, как классический алгоритм; O(|V|)кубитов. Очевидно, что если|V|=4.3e19 тогда это не поможет.

Вместо этого, другой способ кодировать кубик Рубика, как намекалось в других вопросах, это, конечно, подготовить единую суперпозицию по всем4.3e19состояния. Это только занимаетlog4.3e19 кубитов.

Квантовые алгоритмы хорошо говорят о «собственных значениях», «собственных векторах» и «собственных состояниях». Применение всех движений Singmaster к единой суперпозиции всех4.3e19штат не меняет государство; т.е. равномерная суперпозиция является собственным состоянием цепи Маркова на графе Кэли.

Существуют зависимости между диаметром графа и собственными значениями / собственными векторами соответствующей матрицы смежности / лапласиана, особенно спектральной щелью, расстоянием между двумя самыми большими собственными значениями (λ1λ2). Быстрый поиск в Google по «диаметру собственного значения» производит это ; Я рекомендую изучить подобные поиски Google.

Спектральные промежутки - это как раз то , что ограничивает адиабатический алгоритм . Таким образом, возможно, зная, как быстро должен работать адиабатический алгоритм, чтобы эволюционировать из однородного суперпозиции в решенное состояние для различных подгрупп / подпространств группы кубиков Рубика, можно оценить спектральный разрыв и использовать его для ограничения числа Бога. Но я быстро выхожу из своей лиги и сомневаюсь, что чувство точности достижимо.


Во-первых, спасибо за отличный ответ. Мне очень интересно узнать больше о спектральных промежутках и диабатических процессах. Вы знаете что-нибудь о субкубических графах ? Кроме того, вы знаете что-нибудь о сюрреалистических числах (в частности, пробелы )? Кроме того, у вас есть какие-либо мысли по поводу дела 2х2? Или случай nxn (для3<n)?
Мяуцз

1
@ meowzz, пожалуйста. Извините, я ничего не знаю о сюрреалистических числах или субкубических графах. Граф Кэли выше не является кубическим и имеет валентность18 Я думаю (6лица и четверть, половина или три четверти хода на лицо). Оn×n случай, то же самое относится ... измерить, как долго τn адиабатический алгоритм принимает, чтобы развиться в решенное состояние, использовать соотношение между τn а также λ2 ограничить спектральную щель и ограничить диаметр δ с отношением между λ2 а также δ...
Марк С

1
Когда вы читаете ответ, еще не до конца ясно: «Какого ускорения можно достичь с помощью квантового подхода?».
JanVdA

1
@JanVdA Спасибо за ваш комментарий. Я никогда не утверждал, что знаю все детали до ответа на жирный вопрос. Я просто попытался дать некоторую обратную связь о подходах, которые, возможно , стоило бы изучить больше, а также слегка опровергнуть еще один комментарий в этом вопросе. Кроме того, кто-то был очень радушно ответить на аналогичный вопрос от меня.
Марк С
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.