Временная сложность нахождения диаметра графа

Какова временная сложность нахождения диаметра графа ?$G=(V,E)$

• ${O}(|V|^2)$
• ${O}(|V|^2+|V| \cdot |E|)$
• ${O}(|V|^2\cdot |E|)$
• ${O}(|V|\cdot |E|^2)$

Диаметр графа является максимумом множества кратчайших расстояний между всеми парами вершин графа.$G$

Я понятия не имею, что с этим делать, мне нужен полный анализ того, как решить проблему, подобную этой.

Обновить:

Это решение не является правильным.

Решение, к сожалению, верно только для деревьев! Нахождение диаметра дерева даже не нужно. Вот контрпример для графиков (диаметр равен 4, алгоритм возвращает 3, если вы выберете это ):$v$

Если график направлен, то это довольно сложно, вот статья, в которой утверждается, что в плотном случае результаты быстрее, чем использование алгоритмов для всех пар кратчайших путей.

Тем не менее, моя главная мысль о том, что график не направлен, и с неотрицательными весами я слышал о хорошем трюке несколько раз:

1. Выберите вершину$v$
2. Найти такой , что является максимальнымд ( V , U $u$$d(v,u)$
3. Найти такое, что максимальноd ( u , w $w$$d(u,w)$
4. Вернуть$d(u,w)$

Его сложность такая же, как два последовательных поиска в ширину ¹, то есть если граф связан ².$O(|E|)$

Это казалось фольклорным, но сейчас я все еще пытаюсь получить справку или доказать ее исправление. Я обновлю, когда я достигну одной из этих целей. Это кажется таким простым, я отправляю свой ответ прямо сейчас, возможно, кто-то получит его быстрее.

¹ если график весовой, в википедии, кажется, написано но я уверен только в .O ( | E | log | V |$O(|E|+|V|\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

² Если график не связан, вы получите но вам, возможно, придется добавить чтобы выбрать один элемент из каждого подключенного компонента. Я не уверен, если это необходимо, и в любом случае, вы можете решить, что диаметр в этом случае бесконечен.O ( α ( | V | ) )$O(|V|+|E|)$$O(α(|V|))$

Я предполагаю , что вы имеете в виду диаметр из , который является самым длинным кратчайший путь найден в .$G$$G$

Найти диаметр можно, сначала найдя все пары кратчайших путей и определив максимальную найденную длину. Алгоритм Флойда-Варшалла делает это во время . Алгоритм Джонсона может быть реализован для достижения времени .O ( | V | 2 log | V | + | V | ⋅ | E |$\Theta(|V|^3)$$\cal{O}(|V|^2\log |V| + |V|\cdot|E|)$

Меньшая граница времени выполнения в худшем случае кажется труднодостижимой, поскольку существуют расстояния необходимо учитывать, и рассчитывать эти расстояния в сублинейное (амортизированное) время, каждое из которых будет непростым; см. здесь для связанной границы. Обратите внимание на этот документ, который использует другой подход и получает (немного) более быстрый алгоритм.$\cal{O}(|V|^2)$

Вы также можете рассмотреть теоретический подход алгебраического графа. Диаметр - это наименьшее целое число матрица обладает тем свойством, что все записи в отличны от нуля. Вы можете найти по итераций умножения матриц. Алгоритм диаметра тогда требует времени , где является пределом для умножения матрицы. Например, при обобщении алгоритма Копперсмита-Винограда Василевской Уильямс алгоритм диаметра будет работать в . Для быстрого ознакомления см. Главу 3 в книге Фан Чунга здесь .t M = I + A M t t O ( log n ) O ( M ( n ) log n ) M ( n ) O ( n 2,3727 log n $\text{diam}(G)$$t$$M=I+A$$M^t$$t$$O(\log n)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$$O(n^{2.3727} \log n)$

Если вы ограничите свое внимание подходящим классом графов, вы сможете решить задачу APSP за оптимальное время . Эти классы включают в себя как минимум интервальные графы, круговые дуговые графы, графы перестановок, двудольные графы перестановок, сильно хордовые графы, хордальные двудольные графы, дистанционно-наследственные графы и двудольные хордовые графы. Например, см. Dragan, FF (2005). Оценка всех пар кратчайших путей в семействах ограниченных графов: унифицированный подход. Журнал Алгоритмы, 57 (1), 1-21 и ссылки в нем.$O(n^2)$

Допущения:
1. График невзвешенный
2. График направлен

O (| V || E |) сложность времени.

Алгоритм:

ComputeDiameter(G(V,E)):
  if ( isCycle( G(v,E) ) ) then
     return INFINITY
  if ( not isConnected( G(V,E) )) then
     return INFINITY
  diameter = 0
  for each vertex u in G(V,E):
     temp = BFS(G,u)
     diameter = max( temp , diameter )
  return diameter

Пояснение:
мы проверяем цикл. если граф содержит цикл, то мы продолжаем двигаться в цикле, поэтому у нас будет бесконечное расстояние. Мы проверяем на связность. Если граф не связен, это означает вершину u из G1 в вершину v в G2. Где G1 и G2 - любые два подграфа, которые не связаны. Так что у нас снова будет бесконечное расстояние. Мы будем использовать BFS для вычисления максимального расстояния между данным узлом (u) и всеми другими узлами (v), которые достижимы из u. Затем мы возьмем максимум из ранее вычисленного диаметра и результат, возвращаемый BFS. Таким образом, у нас будет текущий максимальный диаметр.

Время выполнения анализа:

1. O (| E |) с использованием DFS
2. O (| E |) с использованием DFS
3. BFS запускается за O (| E |) время.
4. Мы должны вызвать функцию BFS для каждой вершины, так что всего это займет O (| V || E |) времени.

Общее время = O (| v || E |) + O (| E |) + O (| E |),
поскольку | V || E | > | E |
таким образом, у нас есть время выполнения как O (| v || E |).

BFS
DFS

Примечание: это не элегантное решение этой проблемы.