Доказательство информационного неравенства Холево

Предположим, у меня есть классически-классический-квантовый канал $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$, где $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ конечные множества и $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ множество матриц плотности в конечномерном комплексном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$,

предполагать $p_x$ это равномерное распределение по $\mathcal{X}$ а также $p_y$ это равномерное распределение по $\mathcal{Y}$, Далее, определите для распределений$p_1$ на $\mathcal{X}$ а также $p_2$ на $\mathcal{Y}$Холево информация

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

где $H$ энтропия фон Неймана

Я хотел бы показать, для

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ который, $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

Пока что я еще не убежден, что утверждение в первую очередь верно. Я не добился большого прогресса в доказательстве этого, но кажется, что какое-то неравенство треугольника могло бы подтвердить утверждение.

Спасибо за любые предложения относительно того, должно ли заявление держаться и подсказки, как доказать это.

Похоже, что утверждение в целом не соответствует действительности. предполагать$X = Y = \{0,1\}$, $\mathcal{H}$ является гильбертовым пространством, соответствующим одному кубиту, и $W$ определяется как

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ Если $p_y$ это равномерное распределение, оптимальный выбор для $p_1$ является $p_1(0) = 1$ а также $p_1(1) = 0$, который дает $\chi(p_1,p_y,W) = 1$, что является максимально возможным значением. (Я предполагаю, что вы хотите определить$p_1$ а также $p_2$ как argmax этих выражений, а не как супремум.) Точно так же, если $p_x$ равномерно, $p_2(0) = 1$ а также $p_2(1) = 0$является оптимальным, и значение одинаково. Однако,$\chi(p_1,p_2,W) = 0$, поэтому неравенство не выполняется.