Нарушение квантовой границы Хэмминга

Квантовая оценка Хэмминга для невырожденного кода квантовой коррекции ошибок определяется как:$[[N,k,d]]$

$$\begin{equation} 2^{N-k}\geq\sum_{n=0}^{\lfloor d/2\rfloor}3^n\begin{pmatrix}N \\ n\end{pmatrix}. \end{equation}$$ Однако нет никаких доказательств того, что вырожденные коды должны подчиняться такой границе. Интересно, существует ли какой-нибудь пример вырожденного кода, нарушающего квантовую границу Хэмминга, или были достигнуты некоторые успехи в доказательстве аналогичных оценок для вырожденных кодов.

Возможно, вас заинтересуют ответы на этот вопрос . Один из примеров вырожденного кода, превосходящего квантовую границу Хемминга, приведен здесь . У меня также есть числовой пример небольшого нарушения в моей собственной работе, здесь . На рисунке 2 вы увидите увеличенный раздел. По сути, черная линия - это квантовая граница Хемминга (что может быть не совсем очевидно из написанного!), А серая линия - это приближение того, что может быть достигнуто с помощью чего-то, связанного с кодом Торика. Будут и другие примеры!

Похоже, есть ряд результатов о классах вырожденных кодов, которые не нарушают квантовую границу Хемминга (например, здесь и здесь ). Я их не читал, поэтому не знаю, насколько они полезны, но в рефератах предлагается, что они дают хороший контрапункт, передавая редкость хороших вырожденных кодов.