Разрешено ли действовать с положительной картой в состоянии, не являющемся частью более крупной системы?

В комментариях к вопросу, который я задавал недавно, между мной и пользователем user1271772 обсуждается вопрос о положительных операторах.

Я знаю, что для положительного оператора, сохраняющего след, (например, частичное транспонирование), если он действует на смешанное состояние тогда хотя является действительной матрицей плотности, он запутывает матрицу плотности системы, в которой он находится запутался - значит, это не допустимый оператор. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Это и комментарии пользователя user1271772, однако, заставили меня задуматься. действующая на состояние, которое не является частью более крупной системы, действительно дает действительную матрицу плотности, и не существует связанной запутанной системы, которая могла бы ее испортить. $\Lambda$

Поэтому мой вопрос: разрешена ли такая операция (т. Е. Действие положительной карты на состояние, которое не является частью большей системы). Если нет, то почему нет? И если так, правда ли, что любая положительная карта может быть расширена до полностью положительной карты (возможно, нетривиально)?

— Квантовая спагеттификация
источник

Что касается последнего предложения вопроса, может быть полезно отметить, что любое линейное отображение от квадратных матриц к квадратным матрицам, независимо от того, является ли оно положительным или полностью положительным, однозначно определяется его воздействием на чистые матрицы плотности состояний (просто потому, что чистые матрицы плотности состояний охватывают пространство всех матриц). Таким образом, нет способа «расширить» такую карту, чтобы сделать ее полностью позитивной, не меняя своего действия на чистые состояния.

Λ

$\Lambda$

— Джон Уотроус

Почему частичное транспонирование, действующее на чистое состояние, дает действительную матрицу плотности? Или вы просто имеете в виду «действовать на государство, которое не является частью большей системы»? (Первое, кажется, не имеет смысла - любая карта будет «более позитивной» для смешанных состояний, чем для чистых состояний. Последняя просто называется «позитивной картой».)

— Норберт Шух

@NorbertSchuch Я имею в виду «действовать на государство, которое не является частью большой системы» - это не одно и то же, что и чистое государство?

— Квантовая спагеттификация

@ Quantumspaghettification Нет. (Ну, это немного вопрос веры, но то, как оно сформулировано, вводит в заблуждение относительно обычного языка. Мне приходилось читать его несколько раз, чтобы угадать, что вы имеете в виду. Я бы предложил перефразировать его соответственно

— Норберт Шух

@Quantumspaghettification: Чистое состояние. В противном случае (т.е. ранг является ): смешанное состояние. На любом из них транспонирование дает положительное значение . Только если мы применим к большему состоянию (чистому или смешанному), мы получим неположительное состояние.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

— Норберт Шух

Ответы:

Любая карта, которая не является полностью положительной, с сохранением трассировки (CPTP), невозможна в качестве «разрешенной операции» (более или менее полное описание того, как преобразуется некоторая система) в квантовой механике, независимо от того, в каких состояниях она предназначена. действовать на

Ограничение карт, являющееся CPTP, происходит от самой физики. Физические преобразования на замкнутых системах являются унитарными в результате уравнения Шредингера. Если мы допускаем возможность ввести вспомогательные системы или игнорировать / потерять вспомогательные системы, мы получим более общую карту CPTP, выраженную в терминах дилатации Stinespring. Помимо этого, мы должны рассмотреть карты, которые могут возникать только со значительной вероятностью отказа (как в случае поствыбора). Это, возможно, один из способов описания «расширения» для карт, не относящихся к CPTP, к картам CPTP - разработка его таким образом, чтобы его можно было описать как провокационную вещь с некоторой вероятностью и что-то неинтересное с возможно большей вероятностью;

На более высоком уровне - хотя мы можем считать запутывание странным явлением и в некотором роде особенным для квантовой механики, сами законы квантовой механики не делают различий между запутанными состояниями и состояниями продукта. Нет никакого смысла в том, что квантовая механика деликатна или чувствительна к простому присутствию нелокальных корреляций (которые являются корреляциями в вещах, которые мы), что сделало бы невозможным какое-либо преобразование в запутанных состояниях только потому, что это могло бы привести к смущающему результату. Либо процесс невозможен - и, в частности, невозможен для состояний продукта - либо он возможен, и любое затруднение в отношении результатов для запутанных состояний является нашим собственным из-за трудности понимания того, что произошло. Что особенного в запутанности, так это то, как она бросает вызов нашим классически мотивированным предубеждениям, а не то, как сами запутанные государства развиваются во времени.

— Ниль де Бодрап
источник

Какой закон физики требует, чтобы подсистемы вселенной развивались таким образом? Если мы только предположим, что вселенная развивается в соответствии с уравнением Шредингера, можем ли мы доказать, что все подсистемы должны развиваться по принципу CPTP? Я никогда не видел такого доказательства, и другие согласны: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . Я задал вопрос здесь: quantcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

— user1271772

После прочтения я нашел контрпример к вашему утверждению, что динамика должна быть CPTP. Когда начальная матрица плотности определяется формулой 6 из sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , и гамильтониан приведен в том же абзаце, приводит к «общей» матрице плотности, где матрица плотности подсистемы даже не положительно. Ключевая идея состоит в том, что система и ее ванна запутаны даже в момент времени . Я полагаю, что вы не должны допускать запутывания между системой и ванной в момент времени , чтобы заставить CPTP на пути Чоя или Алики.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

— user1271772

@ user1261772: если вам не разрешено не допускать запутывания между системой и ванной, то в каком отношении имеет смысл рассматривать карту только в системе? Существующая запутанность делает бессмысленной идею о том, что мы даже пытаемся представить «более или менее полный отчет» о том, как развивается система. И, наконец, если оператор подсистемы даже не является положительным, как мы можем интерпретировать возможность получения отрицательных вероятностей (или сверхнормализованных вероятностей) некоторых состояний?

— Ниль де Боудрап,

«Это, пожалуй, один из способов описания« расширения »для карт, не относящихся к CPTP, к картам CPTP - разработка его таким образом, чтобы его можно было описать как провокационную вещь с некоторой вероятностью и что-то неинтересное с возможно большей вероятностью» - имеете ли вы любой пример для этого? Мне кажется, что это с некоторой вероятностью приведет к выходу, который не является положительным, что не может быть.

— Норберт Шух

@Neil: я никогда не говорил, что вам не разрешается не допускать запутывания между системой и ванной. В документе говорится, что аргументы, выдвинутые для карт CPTP Чой и Алики, не предполагали первоначальной корреляции, а затем привели пример того, как OQS, изначально коррелированная с его ванной, может иметь неположительную эволюцию, когда система + ванна эволюционирует с использованием а затем прослеживается ванна. Вы говорите, что идея запутывания - это «бессмыслица», но если вы будете искать «начальные корреляции», вы найдете огромное количество литературы по OQS, которые изначально коррелируют с их банями.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

— user1271772

Ситуация с не полностью положительными картами (или, в более общем случае, с нелинейными картами) противоречива отчасти из-за точного определения того, как вы должны построить карту . Но легко привести пример чего-то, что может показаться NCP или даже не линейным.

Нелинейная карта.

Рассмотрим подготовительное устройство, которое может создать кубит в произвольном состоянии (это устройство имеет 3 циферблата). Теперь это устройство будет построено таким образом , что он также готовит второй государственный в окружающей среде. То есть, вы думаете , что вы подготовили один кубит состояние , но на самом деле вы подготовили два кубита состояния . Второй кубит - это среда (к которой вы не можете получить доступ), поэтому, если вы выполняете томографию на своем кубите, все выглядит нормально. $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

Не думайте, что у вас также есть следующий черный ящик - он имеет (насколько вы можете судить) один вход и два выхода. В действительности (неизвестно вам) у него есть два входа и два выхода, и он просто выплевывает как системный кубит, так и кубит среды. Насколько вы можете судить, этот черный ящик является машиной клонирования, нарушающей линейность.

Похожа на идею выше, но устройство для приготовления готовит (ясно, что это можно сделать в лаборатории). Черный ящик теперь будет представлять собой однорельсовый ящик (один входной битовый вывод, один выходной кубит, если речь идет о пользователе), который меняет систему и среду. Для вас это похоже на карту транспозиции. $\rho\otimes\rho^T$

Обратите внимание, что оба устройства подготовки являются физическими, но способ построения карты может зависеть от того, как вы их используете. В приведенном выше примере я предполагал, что смешанное состояние будет построено только с использованием трех циферблатов в машине. В принципе, я мог бы попытаться построить смешанное состояние, подбрасывая монеты и готовя чистые состояния с правильной вероятностью. Томорография показала бы, что процессы эквивалентны, но среда будет другой, а карта, которую вы создадите для черных ящиков, будет другой. $\rho$

— Аарон Бродутч
источник

-3

Ни один закон физики не утверждает, что мы должны быть способны развивать подсистему вселенной самостоятельно.

Не было бы способа окончательно проверить такой закон.

Матрица плотности Вселенной должна иметь след 1 и быть положительно-полуопределенным согласно математическому определению вероятностей ¹ . Любое изменение во вселенной сусло ¹ сохранить это, по математическим причинам и в связи с определениями. Если , вы просто не включили всю вселенную в . Если оно больше 1 или если , то по определению вероятности ^{1 у} вас фактически нет матрицы плотности . $\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

Таким образом, карта: должна быть ¹ положительной и сохраняющей след. $\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Для удобства нам нравится моделировать субрегионы вселенной и вводить для этого полную позитивность. Но однажды может возникнуть эксперимент, который мы находим невозможным объяснить ² , возможно, потому, что мы решили смоделировать вселенную таким образом, который не совместим с тем, как на самом деле работает вселенная.

Если мы предполагаем, что гравитации не существует, и мы можем волшебным образом вычислить все, что захотим, мы считаем, что эволюционирующая использует правильную положительную карту, сохраняющую след, а затем делает частичный след по всем частям Вселенная не имеет значения, даст точные прогнозы. Мы также считаем, что введение понятия моделирования только подсистемы с использованием карты CPT сработает, но мы могли бы сделать ставку на это немного меньше, поскольку добавили предположение так развиваются подсистемы , а не только вселенная в целом. $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$

1 : Даже это спорнопотому что отношения между волновой функцией или плотностью матрицей и вероятностью исходит из постулата квантовой механики называется правилом рождения, который до менее чем 10 лет назад никогда не был испытан на всех, исих пор только были подтверждено истина в, и для конкретной системы: если правило Борна не верно, уравнение 6 из этого не будет ноль. Чтобы проверить, верно ли правило Борна для определенного

ϵ

$\epsilon$ система (в данном случае фотоны, поступающие из какого-то конкретного источника), вам придется выполнить бесконечное количество экземпляров из всех 7 этих экспериментов или придумать другой способ проверить правило Борна (а я не знаю, любой). В 2009 году мы опубликовали это высказывание о том, что правило Борна было верным (для этой системы) с точностью до которая была меньше экспериментальной неопределенности, поэтому мы знаем только, что правило Борна верно для этой системы, и с точностью, ограниченной экспериментом. ,

ϵ

$\epsilon$

2 : Это на самом деле уже так, но давайте представим, что гравитация не существует и что квантовая механика (QED + QFD + QCD) верна, и мы все еще считаем невозможным что-то объяснить, несмотря на то, что (каким-то образом) магическая сила компьютера вычислить все, что мы хотим, мгновенно.

— user1271772
источник

Вы выдвигаете теории поля, и там понятие следов намного тоньше. Но это было ненужным для вопроса. Не нужно ничего говорить, как

T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

— AHusain

@AHusain: Вопрос был о сохраняющих след картах, которые включают след. Вопрос был направлен на меня. Позвольте мне решить, как я хотел бы ответить на вопрос.

— user1271772

Просто хотел указать, что конечные и бесконечные гильбертовы пространства имеют некоторые существенные различия. Состояния на разного рода алгебрах фон Неймана. Это все.

— Хусейн

@ AHusain: Хорошо. Гильбертово пространство одной частицы также может быть бесчисленно бесконечномерным, поэтому эти существенные различия возникают не только для . В любом случае, в своем ответе я пытался подчеркнуть, что квантовая механика (QED + QFD + QCD) требует, чтобы развивался таким образом, чтобы сохранять след и позитивность (предполагая, что аксиома правила Борна правда). Означает ли это, что все подсистемы вселенной должны развиваться по карте CPT? Я никогда не видел доказательств этого.

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

— user1271772

Если вы собираетесь опровергнуть ответ, который занял целое утро (может быть, 3-4 часа?), Чтобы написать и отформатировать, не будет ли справедливым объяснить, что вам не понравилось в нем?

— user1271772