Есть ли общее утверждение о том, какие проблемы можно решить более эффективно с помощью квантового компьютера?

Есть ли общее утверждение о том, какие проблемы можно решить более эффективно с помощью квантовых компьютеров (только модель с квантовыми воротами)? Имеют ли общие проблемы проблемы, для которых сегодня известен алгоритм?

Насколько я понимаю, квантовые вычисления помогают с проблемой скрытой подгруппы (Shor); Алгоритм Гровера помогает ускорить поиск проблем. Я читал, что квантовые алгоритмы могут обеспечить ускорение, если вы ищете «глобальное свойство» функции (Grover / Deutsch).

1. Есть ли более краткое и правильное утверждение о том, где квантовые вычисления могут помочь?
2. Можно ли дать объяснение, почему квантовая физика может помочь в этом (желательно что-то более глубокое, что «вмешательство может быть использовано»)? И почему это, возможно, не поможет для других проблем (например, для NP-полных проблем)?

Есть ли соответствующие документы, которые обсуждают только это?

Я задавал этот вопрос ранее на cstheory.stackexchange.com, но он может быть более подходящим здесь.

О вычислительной полезности в целом

Не осознавая этого, вы задаете версию одного из самых сложных вопросов, которые вы можете задать о теоретической информатике. Вы можете задать тот же вопрос о классических компьютерах, но вместо того, чтобы спросить, полезно ли добавить «квантованность», вы можете спросить:

• Есть ли краткое заявление о том, где могут помочь рандомизированные алгоритмы?

  Здесь можно сказать что-то очень расплывчатое - если вы думаете, что решений много (или что количество решений для некоторой подзадачи многочисленны), но что может быть трудно систематически построить их, тогда полезно иметь возможность выбор наугад, чтобы обойти проблему систематического построения. Но будьте осторожны, иногда причина, по которой вы знаете, что существует множество решений для подзадачи, заключается в том, что есть доказательство с использованием вероятностного метода . Когда это так, вы знаете, что количество решений является многочисленным путем сокращения до того, что в действительности является полезным рандомизированным алгоритмом!

  Если у вас нет другого способа оправдать тот факт, что число решений в этих случаях достаточно, нет простого описания того, когда рандомизированный алгоритм может помочь. И если у вас достаточно высокие требования «полезности» (суперполиномиальное преимущество), то вы спрашиваете, является ли , что является нерешенной проблемой в теории сложности. $\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$
  
  

• Есть ли краткое заявление о том, где параллельные алгоритмы могут помочь?

  Здесь все может быть немного лучше. Если проблема выглядит так, как будто ее можно разбить на множество независимых подзадач, то ее можно распараллелить - хотя это нечеткий критерий типа «вы узнаете об этом, когда увидите». Главный вопрос: узнаете ли вы это, когда увидите? Вы бы догадались, что проверка выполнимости систем линейных уравнений на рациональных не только распараллеливаема, но и может быть решена с использованием -глубинных схем [ср.  Comput. Сложный. 8 (стр. 99-126), 1999 ].$O(\log^2 n)$

  Один из способов, с помощью которого люди пытаются нарисовать интуитивное представление об этом, состоит в том, чтобы подойти к вопросу с противоположной стороны и сказать, когда станет известно, что распараллеленный алгоритм не поможет. В частности, это не поможет, если проблема имеет по своей сути последовательный аспект. Но это циклично, потому что «последовательная» просто означает, что структура, которую вы видите для проблемы, не параллельна.

  Опять же, нет простого, всестороннего описания того, когда распараллеленный алгоритм может помочь. И если у вас достаточно высокие требования «полезности» (полилогарифмическая верхняя граница количества времени, предполагающего полиномиальное распараллеливание), то вы спрашиваете, является ли , что опять нерешенная проблема в теории сложности. $\mathsf P \ne \mathsf{NC}$
  
  

Перспективы «кратких и правильных описаний того, когда [X] полезен», выглядят не слишком большими к этому моменту. Хотя вы могли бы возразить, что мы здесь слишком строги: из-за требования большего, чем полиномиальное преимущество, мы даже не можем утверждать, что недетерминированные машины Тьюринга были «полезными» (что явно абсурдно). Мы не должны требовать такой высокой планки - в отсутствие методов эффективного решения выполнимости мы должны, по крайней мере, признать, что если бы мы каким-то образом могли получить недетерминированную машину Тьюринга, мы действительно нашли бы ее очень очень полезной . Но это отличается от того, чтобы точно определить, для каких проблем мы могли бы найти это полезным.

О полезности квантовых компьютеров

Делая шаг назад, можем ли мы что- нибудь сказать о том, где полезны квантовые компьютеры?

Мы можем сказать следующее: квантовый компьютер может делать что-то интересное, только если он использует структуру проблемы, которая недоступна для классического компьютера. (На это намекают замечания о «глобальном свойстве» проблемы, как вы упоминаете). Но мы можем сказать больше, чем это: проблемы, решаемые квантовыми компьютерами в модели унитарных цепей, будут воплощать некоторые особенности этой проблемы в качестве унитарных операторов . Признаками проблемы, недоступными для классических компьютеров, будут все те, которые не имеют (доказуемо) статистически значимого отношения к стандартной основе.

• В случае алгоритма Шора это свойство является собственными значениями оператора перестановки, который определяется в терминах умножения по кольцу.
• В случае алгоритма Гровера это свойство заключается в том, коммутирует ли отражение о множестве отмеченных состояний с отражением о равномерной суперпозиции - это определяет, есть ли у итератора Гровера собственные значения, которые не являются .$\pm 1$

Не особенно удивительно видеть, что в обоих случаях информация относится к собственным значениям и собственным векторам. Это отличный пример свойства оператора, который не должен иметь никакого значимого отношения к стандартной основе. Но нет особой причины, по которой информация должна быть собственным значением. Все , что необходимо , чтобы быть в состоянии описать унитарный оператор, кодирующий некоторую соответствующую характеристику проблемы , которая не является очевидной из осмотра нормативной базы, но есть доступ к какому - либо другим легко описанному способу.

В конце концов, все это говорит о том, что квантовый компьютер полезен, когда вы можете найти квантовый алгоритм для решения проблемы. Но, по крайней мере, это общая схема стратегии поиска квантовых алгоритмов, которая не хуже общих схем стратегий, которые я описал выше для рандомизированных или распараллеленных алгоритмов.

Замечания о том, когда квантовый компьютер «полезен»

Как уже отмечали другие люди, «где квантовые вычисления могут помочь» зависит от того, что вы подразумеваете под «помощью».

• Алгоритм Шора часто используется в таких обсуждениях, и время от времени люди говорят, что мы не знаем, что факторизация не разрешима в полиномиальное время. Итак, знаем ли мы, что «квантовые вычисления будут полезны для факторизации чисел»?

  Помимо трудностей в реализации квантовых компьютеров, я думаю, что здесь разумный ответ «да»; не потому, что мы знаем, что вы не можете эффективно использовать факторинг с помощью обычных компьютеров, а не потому, что мы не знаем, как вы это сделаете, используя обычные компьютеры. Если квантовые компьютеры помогают вам делать что-то, к чему у вас нет лучшего подхода, мне кажется, что это «помогает».

• $O(2^{0.386\,n})$

  Возможно, алгоритм Гровера как таковой не особенно полезен. Тем не менее, это может быть полезно, если вы используете его для разработки более умных классических стратегий, помимо поиска методом грубой силы: используя амплитудное усиление , естественное обобщение алгоритма Гровера для более общих настроек, мы можем улучшить производительность многих нетривиальных алгоритмов для SAT (см., Например, [ACM SIGACT News  36 (pp.103--108), 2005 г. - ссылка на PDF бесплатно ]; полезный совет Мартину Шварцу, который указал мне на эту ссылку в комментариях).

  Как и в алгоритме Гровера, амплитуда амплитуды дает только полиномиальное ускорение: но, фактически, даже полиномиальное ускорение может быть интересным, если оно не размыто накладными расходами, связанными с защитой квантовой информации от шума.

TL; DR: Нет, у нас нет точного «общего» утверждения о том, какие именно проблемы могут решить квантовые компьютеры , с точки зрения теории сложности. Тем не менее, у нас есть грубая идея.

Согласно подстатье Википедии о связи с теорией вычислительной сложности

Класс задач, которые могут быть эффективно решены квантовыми компьютерами, называется BQP для «ограниченной ошибки, квантового, полиномиального времени». Квантовые компьютеры используют только вероятностные алгоритмы , поэтому BQP на квантовых компьютерах является аналогом BPP («ограниченная ошибка, вероятностное, полиномиальное время») на классических компьютерах. Он определяется как набор задач, решаемых с помощью алгоритма полиномиального времени, вероятность ошибки которого ограничена от половины . Говорят, что квантовый компьютер «решает» проблему, если для каждого случая его ответ будет правильным с высокой вероятностью. Если это решение выполняется за полиномиальное время, то эта проблема находится в BQP.

BQP содержится в классе сложности #P (или, точнее, в связанном классе задач решения P ^#P ), который является подклассом PSPACE .

Предполагается, что BQP не пересекается с NP-полной и строгой надмножеством P, но это неизвестно. И целочисленная факторизация, и дискретный лог находятся в BQP. Обе эти проблемы являются проблемами NP, предположительно находящимися вне BPP, и, следовательно, вне P. Обе подозреваются, что они не являются NP-полными. Существует распространенное заблуждение, что квантовые компьютеры могут решать NP-полные задачи за полиномиальное время. Это неизвестно, чтобы быть правдой, и, как правило, считается ложным.

Способность квантового компьютера ускорять классические алгоритмы имеет жесткие пределы - верхние границы сложности квантовых вычислений. Подавляющая часть классических вычислений не может быть ускорена на квантовом компьютере. Аналогичный факт имеет место для конкретных вычислительных задач, таких как задача поиска, для которой алгоритм Гровера является оптимальным.

${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$$\displaystyle O({\sqrt {N}})$

Хотя квантовые компьютеры могут быть быстрее, чем классические компьютеры для некоторых типов проблем, описанные выше не могут решить любую проблему, которую классические компьютеры уже не могут решить. Машина Тьюринга может симулировать эти квантовые компьютеры, поэтому такой квантовый компьютер никогда не сможет решить неразрешимую проблему, такую ​​как проблема остановки. Существование «стандартных» квантовых компьютеров не опровергает тезис Черча-Тьюринга. Предполагается, что теории квантовой гравитации, такие как М-теория или петлевая квантовая гравитация, могут позволить построить еще более быстрые компьютеры. В настоящее время определение вычислений в таких теориях является открытой проблемой из-за проблемы времени, то есть в настоящее время не существует очевидного способа описать, что означает для наблюдателя отправлять входные данные на компьютер, а затем получать выходные данные.

Что касается того, почему квантовые компьютеры могут эффективно решать проблемы BQP:

1. $n$$2n$

2. Обычно вычисления на квантовом компьютере заканчиваются измерением. Это приводит к коллапсу квантового состояния в одно из базовых состояний. Можно сказать, что квантовое состояние измеряется, чтобы быть в правильном состоянии с высокой вероятностью.

Интересно, что если мы теоретически разрешаем пост-выбор (который не имеет масштабируемой практической реализации), мы получаем класс сложности post-BQP :

В теории вычислительной сложности PostBQP - это класс сложности, состоящий из всех вычислительных задач, решаемых за полиномиальное время на квантовой машине Тьюринга с поствыбором и ограниченной ошибкой (в том смысле, что алгоритм корректен не менее 2/3 времени на всех входы). Тем не менее, Postselection не считается особенностью, которой обладал бы реалистичный компьютер (даже квантовый), но, тем не менее, машины после отбора интересны с теоретической точки зрения.

Я хотел бы добавить, что @Discrete ящерица упомянул в разделе комментариев. Вы явно не определили, что вы подразумеваете под словом «может помочь», однако эмпирическое правило в теории сложности состоит в том, что если квантовый компьютер «может помочь» с точки зрения решения за полиномиальное время (с ошибкой), если класс проблема, которую он может решить, лежит в BQP, но не в P или BPP. Общее соотношение между классами сложности, которые мы обсуждали выше, предположительно :

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

Тем не менее, P = PSPACE, является открытой проблемой в области компьютерных наук . Кроме того, связь между P и NP еще не известна.

Такого общего утверждения не существует, и вряд ли оно будет в ближайшее время. Я объясню, почему это так. Для частичного ответа на ваш вопрос может помочь рассмотрение проблем в двух классах сложности BQP и PostBQP.

Классы сложности, наиболее близкие к проблемам, которые могут быть эффективно решены квантовыми компьютерами модели квантовых ворот

1. BQP ; а также
2. PostBQP

BQP состоит из задач, которые могут быть решены за полиномиальное время на квантовой схеме. Наиболее важные квантовые алгоритмы, такие как алгоритм Шора, решают проблемы в BQP.

$=$

Однако в настоящее время нет способов практически реализовать postselection, поэтому PostBQP представляет более теоретический интерес.

Связь между P, NP и BQP в настоящее время неизвестна; и открытая проблема порядка P против NP. Как общее утверждение о том, какие проблемы могут быть решены более эффективно с помощью квантовых компьютеров, необходимо ответить на вопрос BQP против P (если BQP = P, то, очевидно, квантовые компьютеры не более эффективны (по крайней мере для теоретиков сложности))

Как и в случае с картиной Блю, мне больше нравится эта фотография из журнала Quanta , поскольку она, кажется, визуально суммирует то, о чем мы говорим.