Преобразование компонентов ПИД-регулятора с обратной связью по состоянию в единую передаточную функцию и дискретную форму пространства состояний

Я боролся с этой проблемой уже около недели, как часть годичного проекта. Мы разрабатываем контроллер для конкретного реактора на основе модели. Посмотрев на это некоторое время, я все еще не могу заставить это работать - поэтому я был бы очень признателен, если бы я мог получить некоторую помощь.

В одном из опубликованных обзоров литературы, который мы в значительной степени основали, перечисляются ПИД-регуляторы для каждого отдельного компонента вместо комбинированного уравнения, например, так:

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t a r g e t] \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{p}}{T_{I}} [G (n) - t a r g e t] \\ D (n) = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

Простое объединение трех компонентов в выходной сигнал ПИД-регулятора:

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

И отсюда автор добавляет дополнительный уровень обратной связи о состоянии поверх сигнала PID, чтобы получить окончательный выходной сигнал контроллера, примененный в системе.

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

И R является окончательным «выходом контроллера». Здесь представляет собой коэффициент усиления процесса, и представляют собой интегральный и производный коэффициенты усиления, и представляют собой «коэффициенты усиления», настроенные для обратной связи по состоянию (неизменяемой), и является постоянной величиной, 0,5. - это состояние системы, - это оценочное состояние, которое влияет на динамику модели, а - это фактический конечный результат, отправляемый на установку. $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

Я пытался сначала преобразовать все это в одну функцию передачи контроллера, но мне сказали, что просто сложить их вместе не получится.

Мне также было поручено найти дискретное представление этого контроллера в пространстве состояний. Для этого я попытался изменить вчтобы избавиться от этой проблемы. $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

Затем я попытался определить новую переменную состояния для чтобы и могли быть преобразованы в первый порядок. $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

Затем я попытался подставить значения в ПИД-регулятор, чтобы получить в качестве переменной состояния. Все эти усилия были основаны на рекомендациях моего профессора. $G(n)$

Тем не менее, я все еще очень застрял, потому что я слепо следовал его указаниям без общего видения, чтобы работать над этим. Я думал, что это будет простой вопрос трансформации Тустина - о, как я был очень неправ ...

Я очень расстроен, так как после недельного усилия я все еще озадачен тем, что кажется простой проблемой.

Если возможно, могу ли я смиренно попросить вашей помощи по этим двум конкретным вопросам?

Преобразовать этот контроллер в одну функцию передачи контроллера (как обычно видно в любом представлении функции передачи, т.е. ) $G(s)=\frac{1}{s+1}$
Преобразовать этот контроллер в дискретное представление пространства состояний, оставив частоту дискретизации в качестве переменной?

control-system pid-controller

— Джон Галт
источник

MATLAB и Maple могут решить эти проблемы. У меня есть обе программы. Я распечатал твой пост и постараюсь поработать над ними. Я сделал это в колледже.

— Уэсли Вортман

Можете ли вы дать название публикации?

— Хазем

Это не полный ответ, но я надеюсь, что это могло бы помочь.

Вы можете переписать первую систему как

{\begin{cases} п (N) знак равно К_{п} Е (N) \\ я (N) знак равно я (N - 1) + \frac{К_{п}}{T_{я}} Е (N) Δ T \\ D (N) знак равно К_{п} T_{D} \frac{Е (N) - Е (N - 1)}{Δ T} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

$E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

Теперь вы можете переписать систему как единственную функцию ошибки.

п я D (N) знак равно п (N) + я (N) + D (N)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

I (n - 1) = P I D (N - 1) - п (N - 1) - D (N - 1) знак равно п я D (N - 1) - К_{п} Е (N - 1) - К_{п} T_{D} \frac{Е (N - 1) - Е (N - 2)}{Δ T}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P I D (n) = K_{P} E (n) + P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t + K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} = P I D (n - 1) + K_{P} ((1 + \frac{Δ t}{T_{I}} + \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n) - (1 + 2 \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n - 1) + \frac{T_{D}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

Второй вариант немного сложнее переписать как одно уравнение, но вы можете сделать это аналогичным образом. Результат должен быть

R (n) = K_{1} R (n - 1) - (γ K_{0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 + γ) (P I D (n) - K_{1} P I D (n - 1) + K_{2} P I D (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

Теперь вам нужно всего лишь заменить уравнение PID, чтобы получить уравнение регулятора как функцию ошибки.

— gvgramazio
источник