Почему работает теорема об опасности гонки?

Так что для тех, кто не знает, теорема о расовой опасности (RHT) гласит:

A x B + A 'x C = A x B + A' x C + B x C

Я понимаю другую часть RHT, о задержках и тому подобном, но я не понимаю, почему приведенное выше логическое утверждение должно быть правдой, может кто-нибудь помочь мне понять это?

Как указывали другие, математически утверждения точно такие же, и дополнительный термин является «избыточным». Для меня также было бы «излишним» копировать их математические доказательства здесь.

Вы также можете легко проверить эквивалентность утверждений, составив таблицу истинности из 8 строк для трех комбинаций входных данных.

    A B C           A*B + A'*C                       A*B + A'*C + B*C
    0 0 0               0                                    0
    0 0 1               1                                    1
    0 1 0               0                                    0
    0 1 1               1  ** hazard b/w states              1
    1 0 0               0                                    0
    1 0 1               0                                    0
    1 1 0               1                                    1
    1 1 1               1  ** hazard b/w states              1

Цель дополнительного термина состоит в том, чтобы препятствовать тому, чтобы A вызвал любое переключение, когда и B и C высоки.

В качестве примера, предположим, что между A и A 'существует конечная задержка (разумно). Теперь также учтите, что оба B и C равны '1'. Как вы можете видеть на графиках ниже, на выходе есть сбой.

Предполагая, что логика является статической CMOS, глюк исправим. Но если бы это были некоторые формы динамической логики, это могло бы распространить ошибку.

Добавление избыточного термина является решением для устранения этой проблемы.

Доказательство по булевой алгебре:

A x B + A 'x C [левая сторона]
= A x B x 1 + A' x C x 1 [Не упрощено И с истиной]
= A x B x (1 + C) + A 'x C x ( 1 + B) [Истинный ИЛИ что угодно]
= A x B x 1 + A x B x C + A 'x 1 x C + A' x B x C [Распределить]
= A x B + A x B x C + A 'x C + A' x B x C [Упростить И с истиной]
= A x B + A 'x C + A x B x C + A' x B x C [Переставить термины]
= A x B + A 'x C + (A + A ') x B x C [Факторизация]
= A x B + A' x C + 1 x B x C [ИЛИ отрицание истинно]
= A x B + A 'x C + B x C [ Справа]

Доказательство по случаям:

• Предположим, что B x C верно.
  Тогда B верно и C верно одновременно.
  Таким образом, правая часть становится A x B + A 'x C + 1 x 1 = 1.
  Левая сторона становится A x 1 + A' x 1, что равно 1 независимо от A.
  Следовательно, LHS равно RHS.
• Предположим, что B x C неверно.
  Тогда правая часть становится A x B + A 'x C + 0 = A x B + A' x C, что делает ее идентичной LHS.
  Следовательно, LHS равен RHS.

Во всех случаях LHS равен RHS. Поэтому мы приходим к выводу, что две формулы всегда оцениваются в одно и то же значение.

Ссылки:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Consensus_theorem
• https://www.nayuki.io/page/boolean-algebra-laws

Рассмотрим LHS отдельно:
A x B + A 'x C

Если и B, и C верны в этом утверждении, имеет ли условие A какое-либо значение для результата?
Нет - потому что (A x B) или (A 'x C) будет истинным, что приведет к результату true.

Итак, теперь, глядя на RHS, первые 2 термина AND являются просто дубликатом LHS, а третий термин AND представляет то, что мы только что узнали о B & C.

$AB + A'C + BC = AB + A'C + (A+A')BC \textrm{ -- Multiply BC term by 1}\\ = AB + A'C + ABC + A'BC \textrm{ -- Distribute the term}\\ = (AB + ABC) + (A'C + A'BC) \textrm{ -- regroup} \\ = AB(1+C) + A'C (1 + B) \textrm{ -- factor} \\ = AB + A'C \textrm{ -- Simplify}$

Давайте посмотрим на карту Карно :

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$