Количество двоичных элементов, необходимых для одновременного вычисления И и ИЛИ из n входных битов

Какое минимальное количество двоичных вентилей необходимо для вычисления И и ИЛИ из входных битов одновременно? Тривиальная верхняя граница . Я считаю, что это оптимально, но как это доказать? Стандартный метод устранения строба здесь не работает, так как, присваивая константу любой из входных переменных, можно тривиализировать один из выходных данных. $n$ $2n-2$

Эта проблема также приводится в упражнении 5.12 в книге Инго Вегенера «Сложность булевых функций» в несколько иной форме: «Пусть . Методом исключения можно доказать только нижнюю границу размера . Попробуйте доказать большие нижние оценки. " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— Александр Сергеевич Куликов
источник

@Ryan: Вопрос не о том и в OR , а о И и ИЛИ. Хотя я не знаю ответа на вопрос Саши.

— Цуёси Ито

@TsuyoshiIto Спасибо, каким-то образом мне удалось разобрать его неправильно. Это определенно нетривиальная проблема - можно было бы использовать другие виды ворот, чтобы получить преимущество над

2 n - 2

$2n-2$

— Райан Уильямс

@ Саша, вы пробовали применять SAT-решатели к небольшим примерам (например,

), как в некоторых из ваших предыдущих работ?

n = 4

$n=4$

— Райан Уильямс

@ Райан Да, конечно. Мы знаем, что

. Это для функции из книги (это

если все

входных битов равны). Это растет как

. И схему размера

легко построить: сначала вычислим

для всех

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

вентилей), а затем вычислить их соединение (

вентилей).

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— Александр Сергеевич Куликов

@Tsuyoshi: Я думаю , что

ворот функционируют Саша является второй функцией вопроса (

) , которые могут быть построены с

вентиль XNOR (применяется к

) и

вентиль AND применяется к XNOR.

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Марцио Де Биаси

Ответы:

Эта статья Blum & Seysen может быть полезна:

Н. Блюм, М. Сейсен. Характеристика всех оптимальных сетей для одновременного вычисления AND и NOR . Acta Inf. 21: 171-181 (1984)

Я подумал , что для нижняя граница может быть получена с помощью методов Blum & Seysen, но мне кажется , что это не так. $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— Владимир Лысиков
источник

Существует ли общедоступная PDF-версия статьи Блюма и Сейзена?

— Марцио Де Биаси

@ Владимир, спасибо за ссылку! Я постараюсь проверить, применимы ли их методы в этом случае, когда найду статью.

— Александр Сергеевич Куликов

@ Владимир, еще раз спасибо! На самом деле, эта статья содержит именно тот ответ на мой вопрос и даже больше: он говорит, что для вычисления И и ИЛИ одновременно нужно

и любая схема такого размера вычисляет И и ИЛИ независимо (это интересно!). Также нетрудно показать, что

2 n - 2

$2n-2$

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$

— Александр Сергеевич Куликов

@Sasha, yes, I missed this simple construction. To clarify things, in the paper AND and NOR functions are considered, so for AND and OR we get

2 n - 2

$2n-2$ lower bound by altering one gate and for

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$ ---

2 n - 5

$2n-5$

— Vladimir Lysikov

Just a reminder @SashaK. if you like the answer, please "accept" it by clicking on the tick mark below the vote count.

— Suresh Venkat

$3\lfloor n/2 \rfloor$ .

The clever algorithm proving the upper bound translates to an AND/OR circuit with same bound you get, since one of the comparisons computes both a minimum and a maximum.

However, the lower bound (given by an adversary argument) does seem to translate, at least in the case of monotone circuits (since an AND/OR circuit translates to a max/min algorithm). This would imply a lower bound of $3\lfloor n/2 \rfloor$ . Perhaps a tight lower bound can be obtained by analyzing the adversary argument.

The upper bound appears in "Introduction to Algorithms", where you can also find the easy argument showing that max/min comparator circuits are valid iff they work for boolean inputs (use an appropriate threshold). The lower bound can be found e.g. here.

— Yuval Filmus
источник

Note in Sasha's question, all 2-bit Boolean functions can be used to construct the circuit.

— Ryan Williams

Yes, it is not clear how the lower bound can be translated to the case of all binary functions.

— Alexander S. Kulikov