Термины лямбда-исчисления, которые сводят к себе

В моем продолжающемся стремлении изучить лямбда-исчисление Хамдли и Селдин «Лямбда-исчисление и комбинаторы введение» упоминают следующую статью (Брюса Лерчера), которая доказывает, что единственное приводимое выражение, которое является одним и тем же (преобразование по модулю альфа) к себе является: $(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$ .

Хотя я верю результату, я совсем не слежу за аргументом.

Это довольно короткий (менее одного абзаца). Любые объяснения будут приветствоваться.

Благодарность,

Чарли

Во-первых, обратите внимание, что результат гласит, что единственный бета-пересчет, где правая часть равна (по модулю альфа-преобразованию) левой части, равен . Есть другие термины, которые сводятся к себе, имея этот переопределение в контексте.$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$

Я могу видеть, как работает большинство доказательств Лерчера, хотя есть моменты, где я не могу пройти, не слегка изменив доказательство. Предположим, что (я использую = для альфа-эквивалентности), и согласно соглашению с переменными предположим, что x не встречается свободно в$(\lambda x. A) B = [B/x] A$$=$$x$$B$ .

Подсчитайте количество в левой и правой части. Уменьшение удаляет один из Redex, а также тех , B , и добавляет столько , сколько есть в B раз число вхождений х в А . Другими словами, если L ( M ) - это число λ в M, а # x ( M ) - количество свободных вхождений x в M, то 1 + L ( B ) = # x$\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$$\#_x(M)$$x$$M$ . Единственное решение этого диофантова уравнения - # x ( A ) = 2 (и L ( B ) = 1, но мы не будем использовать этот факт).$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

Я не понимаю аргументацию Леркера для параграфа выше. Он считает количество и атомных членов; давайте напишем это # ( M ) . Уравнение имеет вид # ( B ) + 1 = # x ( A ) × ( # ( B ) - 1 ) , который имеет два решения: # x ( A ) = 2 , # ( B ) = 3 и # x ( $\lambda$$\#(M)$$\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$ . Я не вижу очевидного способа устранения второй возможности.$\#_x(A)=3, \#(B)=2$

Теперь применим те же рассуждения к числу подтермов, равных с обеих сторон. Сокращение удаляет единицу около вершины и добавляет столько, сколько есть замещенных вхождений x в A , то есть 2. Следовательно, еще одно вхождение B должно исчезнуть; поскольку те, что в A, остаются (поскольку B не содержит свободного x ), дополнительное вхождение B в левой части должно быть λ x . .$B$$x$$A$$B$$A$$B$$x$$B$$\lambda x. A$

Я не понимаю, как Лерчер делает вывод, что не имеет B в качестве подтерма, но на самом деле это не имеет отношения к доказательству.$A$$B$

Из исходной гипотезы является приложением. Этого не может быть, если A = x , поэтому само A является приложением M N с λ x . M N = [ ( λ x . M N ) / x ] M = [ ( λ x . M N ) / x ] $[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$$\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$ . Поскольку не может быть субтермом, $M$$M$ не может иметь форму , поэтому М = х . Аналогично, N = x .$\lambda x.P$$M = x$$N = x$

Я предпочитаю доказательства без подсчета аргументов. Предположим, что $(\lambda x. A) B = [B/x] A$ .

If $A = x$ then we have $(\lambda x. A) B = B$, which is not possible since $B$ cannot be a subterm of itself. Thus, since the right-hand side of the hypothesis is equal to an application, $A$ must be an application $A_1 A_2$, and $\lambda x. A = [B/x] A_1$ and $B = [B/x] A_2$.

$A_1 = x$$A_1 = \lambda x. [B/x] A$$A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$, which is not possible since $A_1 cannot be a subterm of itself.

From the latter equality, either $A_2 = x$ or $A_2$ has no free $x$ (otherwise $B$ would be a subterm of itself). In the latter case, $A_2 = B$.

We have shown that $A = x x$. The right-hand side of the initial hypothesis is thus $B B$, and $B = \lambda x. A$ = $\lambda x. x x$.