Какой смысл

Я думаю, что я не понимаю этого, но $\eta$ -конверсия выглядит для меня как $\beta$ конверсия, которая ничего не делает, особый случай $\beta$ конверсии, где результатом является просто термин в лямбда-абстракции, потому что нечего делать, вид бессмысленного $\beta$ преобразования.

Так что, возможно, $\eta$ преобразование - это нечто очень глубокое и отличное от этого, но, если это так, я не понимаю этого, и я надеюсь, что вы поможете мне с этим.

(Спасибо и извините, я знаю, что это часть самых основ лямбда-исчисления)

Обновление [2011-09-20]: я расширил параграф о расширении и расширении. Спасибо Антону Салихметову за указание на хорошую ссылку.$\eta$

-конверсия ( λ x . f x ) = f является частным случаем β - преобразованиятольков частном случае, когда f сама является абстракцией, например, если f = λ y . y y тогда ( λ x . f x ) = ( λ x . ( λ y . y y ) x ) = β ( λ x $\eta$$(\lambda x . f x) = f$$\beta$$f$$f = \lambda y . y y$Но что, если f - это переменная или приложение, которое не сводится к абстракции?

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ $f$

В некотором смысле правило - это особый вид экстенсиональности, но мы должны быть немного осторожны с тем, как это заявлено. Мы можем утверждать экстенсиональность как:$\eta$

1. для всех термов M и N , если M x = N x, то M = N , или$\lambda$$M$$N$$M x = N x$$M = N$
2. для всех если ∀ x . f x = g x, то f = g .$f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

Первый - это мета-утверждение о членах исчисления. В нем x выступает как формальная переменная, т. Е. Является частью λ- исчисления. Это можно доказать из β η- правил, см., Например, теорему 2.1.29 в «Лямбда-исчислении: его синтаксис и семантика» Барендрегта (1985). Его можно понимать как утверждение обо всех определяемых функциях, т. Е. Тех, которые обозначают λ- термины.$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

Второе утверждение - то, как математики обычно понимают математические утверждения. Теория исчисления описывает определенный вид структур, назовем их « λ -моделями ». Λ -модель может быть несчетной, так что нет никакой гарантии , что каждый элемент он соответствует λ термам (так же , как есть более действительные числа , чем есть выражения , описывающие реалы). Тогда экстенсиональность говорит: если мы возьмем любые две вещи f и g в λ- модели, если f x = g x для всех x в модели, то f = $\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$, Теперь, даже если модель удовлетворяет правилу, она не должна удовлетворять экстенсиональности в этом смысле. (Ссылка нужна здесь, и я думаю, что мы должны быть осторожны, как равенство интерпретируется.)$\eta$

Есть несколько способов, которыми мы можем мотивировать и η -преобразования. Я случайным образом выберу теоретико-категоричный, замаскированный под λ- калькуляцию, и кто-то другой может объяснить другие причины.$\beta$$\eta$$\lambda$

Давайте рассмотрим типизированный расчет (потому что он менее запутанный, но более или менее те же рассуждения работают для нетипизированного λ- вычисления). Одним из основных законов , которые должны трюмов экспоненциальный закон C × B ≅ ( C B ) . (Я использую обозначения A → B и B A взаимозаменяемо, выбирая то, что кажется лучше.) Что означают изоморфизмы i : C A × B → ( C B ) A и j $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$ похожи, записанные в λ- калькуляции? Предположительно они были бы я = Л п : С × B . λ : . λ б : Б . е ⟨ , б ⟩ и J = λ г : ( С В ) . λ p : A × $j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ Короткий расчет с парой бета -reductions (том числе бета -reductions П 1 ⟨ в , б ⟩ = с и П 2 ⟨ в , б ⟩ = Ь для продуктов) говорит намчто, для каждого г : ( С В ) А у нас есть я ( J г ) $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ $\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ Так как я и J являются инверсиями друг друга, мы ожидаем , что я ( J г ) = г , но на самом деле доказать этомы должны использовать η -уменьшение дважды: я ( J г ) = ( λ в : . Л Ь : В . g a b ) = η $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ Так что это одна из причин наличия η- сокращений. Упражнение: какой η- правила нужен, чтобы показать, что j ( i f ) = f ? $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем привести следующую цитату из соответствующей монографии «Лямбда-исчисление. Его синтаксис и семантика »(Barendregt, 1981):

$\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Его доказательство основано на следующей теореме.]

$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

HP-полные теории [после Гильберта – Поста] соответствуют максимально согласованным теориям в теории моделей для логики первого порядка.

$\lambda$$\beta$$\eta$

• $\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• $\iota$
  

  1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. $\beta\eta$$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

Это является следствием теоремы Бёма.

$\eta$

Одним из способов формализации этого понятия является следующее: если мы рассмотрим соотношение $=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

Теперь, заменив на = β $=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$