В теории комбинаторного представления и алгебраической геометрии существует ряд проблем, для которых не существует положительной формулы. Есть несколько примеров, о которых я думаю, но позвольте мне взять в качестве примера вычисление коэффициентов Кронекера . Обычно понятие «положительная формула» не совсем точно определено в комбинаторике, но оно примерно означает «описание, поскольку количество элементов кажется достаточно явным множеством». Недавно я разговаривал с Ионой Бласиаком, и он убедил меня, что правильное определение «позитивной формулы» - это #P . Я собираюсь предположить, что на этом сайте мне не нужно определять #P.
Бюргиссер и Икенмейер показывают, что коэффициенты Кронекера жесткие #P. (Они также всегда положительны, потому что они являются тензорными кратностями произведений.) Но я вполне уверен, что никто не знает способ их вычисления, который даже переводит их в #P.
Итак, предположим, что я должен был попытаться доказать, что коэффициенты Кронекера не в #P. Я предполагаю, что то, что я хотел бы сделать, это предположить некоторую теоретическую гипотезу сложности, а затем свести произведение Кронекера к некоторой другой задаче, которая, как известно, является полной для класса, большего чем #P.
Какую гипотезу я могу предположить, и какую проблему я могу попытаться устранить?
ДОБАВЛЕНО: Как было указано в комментариях, Бюргиссер и Икенмейер показывают, что коэффициенты Кронекера находятся в Gap-P, что довольно близко к #P. Таким образом, звучит так, что я должен задать следующие вопросы: (1) Каковы некоторые проблемы, связанные с Gap-P-полнотой, которые я мог бы правдоподобно уменьшить, и (2) каковы перспективы показать, что Gap-P не является #P? Я думаю, (2) следует разбить на две части (2а) эксперты считают, что эти классы разные? и (2b) есть ли вероятные стратегии, чтобы доказать это?
Я надеюсь, что это большое редактирование вопроса не осуждается.