Топологическое пространство, связанное с SAT: оно компактно?

Проблема удовлетворенности является, конечно, фундаментальной проблемой в теоретической CS. Я играл с одной версией проблемы с бесконечным количеством переменных. $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

Базовая настройка. Пусть непустое и, возможно, бесконечное множество переменных . Литерал - это либо переменная либо ее отрицание . Предложение - это дизъюнкция конечного числа литералов . Наконец, мы определяем формулу как набор предложений .$X$¬ x c$x \in X$$\neg x$$c$$F$

Назначение - это функция . Я не буду явно определять условие, когда присваивание удовлетворяет предложению; это немного громоздко, и то же самое, что и в стандартном SAT. Наконец, присваивание удовлетворяет формуле, если оно удовлетворяет каждому составляющему предложению. Пусть будет множеством удовлетворяющих присваиваний для , и пусть будет дополнением к .σ : X → { 0 , 1 } σ s a t ( F ) F u n s a t ( F ) s a t ( F $X$$\sigma : X \to \{0,1\}$$\sigma$$\sat(F)$$F$$\unsat(F)$$\sat(F)$

Топологическое пространство.

Наша цель - наделить пространство всех присваиваний , назовем это , топологической структурой . Наши замкнутые множества имеют вид где - формула. Мы можем проверить, что это действительно топология:$X$$\Sigma$$\sat(F)$$F$

• Пустая формула содержащая предложений, удовлетворяется всеми присваиваниями; поэтому закрыта.$\emptyset$$\Sigma$
• Формула для любого является противоречием. Так что закрыто.x ∈ X $\{ x, \neg x \}$$x \in X$$\emptyset$
• Замыкание при произвольном пересечении. Пусть формула для каждого . Тогда . i ∈ I s a t ( ⋃ i ∈ I F i ) = ⋂ i ∈ I s a t ( F i$F_{i}$$i \in I$$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$
• Закрытие при конечном объединении. Предположим, что и - две формулы и определяют F \ vee G: = \ {c \ vee d \,: \, c \ in F, d \ in G \}. Тогда \ sat (F \ vee G) = \ sat (F) \ cup \ sat (G). Это требует аргументации, но я пропущу это.G F ∨ G : = { c ∨ $F$$G$s a t ( F ∨ G ) = s a t ( F ) ∪ s a t ( G $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$

Назовите эту топологию "топологией выполнимости" (!) На . Конечно, множества этой топологии имеют вид . Кроме того, я заметил , что совокупность открытых множеств образует базис . (Упражнение!) Σ u n s a t ( F ) { u n s a t ( c $\mathcal T$$\Sigma$$\unsat(F)$

Компактный? Я чувствую, что это интересный, хотя и не очень полезный способ взглянуть на вещи. Я хочу понять, обладает ли это топологическое пространство традиционными интересными свойствами, такими как компактность, связность и т. Д. В этом посте мы ограничимся компактностью:

Пусть счетно бесконечный набор переменных. ¹ Является ли компактным в ?Σ $X$$\Sigma$$\mathcal T$

Можно доказать следующее

Предложение. компактно тогда и только для всех невыполнимых формул , существует конечная невыполнимая подформулу . F { c 1 , c 2 , … , c m } ⊆ $\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(Не очень сложное упражнение!) После нескольких дней размышлений у меня не было большого прогресса в ответе на этот вопрос. У меня также нет убедительных доказательств за или против компактности. Можете ли вы предложить какой-то подход?

Напоследок в качестве бонусного вопроса:

Была ли такая структура изучена ранее?

¹ Ограничение счетного только для простоты; это также похоже на следующий естественный шаг из конечного числа переменных.$X$

То, что вы делаете, это получение топологического представления булевой алгебры. Изучение представлений булевых алгебр восходит, по крайней мере, к Линденбауму и Тарскому, которые доказали (я думаю, что в 1925 г.), что полные атомные булевы алгебры изоморфны решеткам powerset.

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр Каждая булева алгебра изоморфна решетке замкнутых подмножеств топологического пространства.

$\mathit{true}$

Пространство Стоуна булевой алгебры является компактным, полностью несвязным хаусдорфовым пространством.

Было несколько результатов, которые расширяют и обобщают представление Стоуна в различных направлениях. Естественный вопрос - спросить, есть ли у других семейств решеток такие представления. Результаты Стоуна также применимы к распределительным решеткам. Топологические представления для произвольных решеток были даны Alasdair Urquhart в 1978 году. Распределительные решетки обладают большим разнообразием по структуре по сравнению с булевыми алгебрами и представляют большой интерес. Иное представление для распределительного случая было дано Хилари Пристли в 1970 году, используя идею упорядоченного топологического пространства . Вместо представлений на основе множеств мы можем найти представления и топологии на основе множеств.

Конструкции в этих работах обладают одним замечательным свойством. Построение Стоуна отображает не только булевы алгебры в топологические пространства: структурные отношения, относящиеся к булевым алгебрам, преобразуются в структурные свойства между полученными топологиями. Это двойственность между категориями. Вся гамма таких результатов называется каменной двойственностью . Неформально двойственности дают нам точные переводы между математическими вселенными: комбинаторный мир множеств, алгебраический мир решеток, пространственный мир топологии и дедуктивный мир логики. Вот несколько отправных точек, которые могут помочь.

1. Глава 11 « Введение в решетки и порядок » Дэйви и Пристли охватывает теорему Стоуна.
2. Слайды Мэтью Гвинна охватывают теорему и дают доказательство компактности. Мэтью (в комментариях) также предлагает введение в булевы алгебры Пола Халмоса.
3. При переходе от логики высказываний к модальной логике булева алгебра расширяется с помощью оператора, сохраняющего соединение, и топологии с внутренностью. Работа Йонсона и Тарского 1952 года « Булевы алгебры с операторами» чрезвычайно удобна для чтения и согласуется с современными обозначениями.
4. Глава 5 « Модальной логики » Блэкберна, де Рийке и Венемы охватывает теорему Стоуна и ее расширение на булевы алгебры с операторами.
5. Stone Spaces Питера Джонстона рассматривает такие результаты для различных других видов алгебр.