Самый эффективный способ преобразовать цепь

РЕДАКТИРОВАТЬ (22 августа 2011 г.):

Я еще больше упрощаю вопрос и назначаю вознаграждение за этот вопрос. Возможно, на этот более простой вопрос будет легко ответить. Я также собираюсь зачеркнуть все части оригинального вопроса, которые больше не актуальны. (Спасибо Стасису Юкне и Райану О'Доннелу за частичный ответ на первоначальный вопрос!)

Фон:

Учитывая цепь AC ⁰ с глубиной k и размером S, существует другая схема AC ⁰ , вычисляющая ту же функцию с глубиной k и размером $O(S^k)$ , так что новая схема имеет разветвление = 1 для всех затворов. Другими словами, схема выглядит как дерево (за исключением входов, поскольку входы могут разветвляться на более чем один вентиль). Один из способов сделать это - продублировать все ворота с разветвлением> 1, пока все ворота не разветвятся = 1.

Но это самый эффективный способ для преобразования переменного тока ⁰ цепей к сети переменного тока ⁰ цепей с 1 разветвления? Я прочитал следующее в лекции 14 заметок курса Райана О'Доннелла :

Предположим, что C - это любая схема глубины k размера S, которая вычисляет четность. Это упражнение, чтобы показать, что C можно преобразовать в выровненную схему глубины-k, где уровни чередуются с логическими элементами И и ИЛИ, входными проводами являются литералы 2n, а каждый вентиль имеет разветвление 1 (т. Е. Это дерево ) - и размер увеличивается не более $(2kS)^2 \leq O(S^4)$ .

Сноска: На самом деле, это немного сложное упражнение. Это проще, если вам нужно только получить размер $O(S^k)$ , который почти одинаков для наших целей, если вы думаете о k как о «константе».

Означает ли это, что есть способ взять любую глубину k AC ⁰ цепь размера S и преобразовать ее в AC ⁰ цепь с разветвлением 1, глубиной k и размером $(2kS)^2$ ? Если да, то как это делается и является ли этот метод самым известным?

Оригинальный вопрос:

Учитывая цепь AC ⁰ с глубиной k и размером S, каков наиболее известный метод (с точки зрения минимизации размера схемы результирующей схемы) для преобразования этого в схему AC ⁰ глубины k и разветвления затвора 1? Есть ли какие-либо нижние границы, известные для этого?

Более новый, более простой вопрос:

Этот вопрос является ослаблением первоначального, где я не настаиваю на том, чтобы результирующая схема имела постоянную глубину. Как объяснено выше, существует способ преобразовать цепь AC ⁰ с глубиной k, размер S, в схему с размером , чтобы новая цепь имела разветвление = 1 для всех затворов. Есть ли лучшая конструкция? $O(S^k)$

Учитывая цепь AC ⁰ с глубиной k и размером S, каков наиболее известный метод (с точки зрения минимизации размера схемы результирующей цепи) для преобразования этого в схему любой глубины с разветвлением затвора 1?

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— Робин Котари
источник

Граница

в порядке. Но если граница

будет выполняться для произвольных цепей (не только для тех, которые вычисляют функцию четности), то можно будет смоделировать каждую схему fanin-2 размера

с помощью fanin- 2 формула размера

ворот фанин-2 достаточно, чтобы имитировать одни ворота неограниченного фанина. Тогда формула может быть преобразована в одну из глубины

O (S^{k})

$O(S^k)$

(2 k S)^{2}

$(2kS)^2$

S

$S$

O (S^{5})

$O(S^5)$

S

$S$

O (\log S)

$O(\log S)$ (хорошо известный результат, ошибочно приписанный Спира). Таким образом, мы получили бы, что глубина схемы больше всего

. Но это слишком приятно, чтобы быть правдой: самая известная верхняя граница для глубины контура - только

O (\log S)

$O(\log S)$

O (S / \log S)

$O(S/\log S)$

— Стасис

Между прочим,

действительно справедливо и для произвольных цепей, но только если мы допустим ворота fanin-2 (см., Например, Thm. 4.1 в книге Вегенера); тогда схемы еще могут запомнить промежуточные результаты. Ситуация с fanin-1 совсем иная: здесь схемы вообще не имеют памяти. Но вопрос Робина очень интересный. Было бы даже интересно показать, что схемы глубины 3 размера

можно моделировать с помощью формул глубины 3 размера меньше, чем

O (k S)^{2})

$O(kS)^2)$

S

$S$

S^{2}

$S^2$

— Стасис

Я бы доверял всему, что говорит Стас выше; Я не был очень осторожен в этих заметках (извините). С другой стороны, я помню, что, когда писал их, они были очень расстроены из-за того факта - упомянутого во многих многих статьях, но почти никогда не цитируемого - что можно преобразовать произвольные схемы

в слоистые, не увеличивая размер "много" , Я хотел бы видеть указатель на самый известный результат по этому вопросу.

A C^{0}

$AC^0$

— Райан О'Доннелл

@Ryan О'Доннелл: в самом деле, можно легко сделать схему слоистой с раздутие

. Мы используем ассоциативность для достижения того, чтобы каждый вентиль AND имел только вентили ИЛИ в качестве входных данных, и наоборот; глубина остается неизменной. Затем расположите вентили по их глубине и добавьте, если необходимо, тривиальные вентили ИЛИ и И для получения слоистой схемы; глубина остается неизменной, а размер увеличивается только в k раз. Но я понял, что Робин хочет, чтобы схема была преобразована в формулу (древовидная схема, за исключением того, что входные литералы могут иметь большой разветвление).

O (k S)

$O(kS)$

— Стасис

@Ryan O'Donnell: Спасибо за ответ и за то, что выложили свои лекционные заметки в Интернете! В частности, ваши лекционные заметки по анализу булевых функций оказались очень полезными.

— Робин Котари

Я постараюсь обобщить мои предыдущие комментарии.

Давайте сначала проигнорируем тот факт, что ваша исходная схема имеет (постоянную) глубину ; просто предположим , что имеет размер . Пусть будет наименьшим числом, таким образом, что любой неограниченный размер цепи вентилятора в может быть преобразован в неограниченную формулу вентилятора в размере размера . Я утверждаю, что лучшее, что мы можем сделать до сих пор, это достичь . Скажем, даже неизвестно, существует ли какая-либо (фанин-2) схема размера $k$ $S$ $A$ $S$ $F$ $O(S^A)$ $A=O(S/\log^2 S)$ $S=O(n)$ можно смоделировать по формуле с размером меньше чем . $\exp(n/\log n)$

Чтобы показать это утверждение, мы преобразуем формулу в формулу Фанина-2 размера . Хорошо известно, что глубина каждой формулы может быть сделана логарифмической по своему размеру, то есть . [Это было впервые показано Храпченко в 1968 году, а затем константа при большой-O была улучшена до $F$ $F′$ $M=O(S^{2A})$ $D$ $F′$ $D=O(\log M)=O(A\log S)$ $D\leq 1.73\log_2M$ несколькими авторами.] С другой стороны, самый известный результат для цепей fanin-2 [Paterson and Valiant, TCS 2 (3), 397-400] говорит, что . Таким образом, имитация с намного меньшим, чем , улучшит наиболее известное моделирование размера-глубины для цепей. $Depth=O(Size/\log Size)$ $A$ $S/\log^2 S$

Это, однако, только «слово предостережения» - оно не отвечает на ваш вопрос, потому что вы предполагаете, что ваша исходная схема имеет постоянную глубину , подразумевая, что в этом случае мы можем просто взять (или если у нас есть один выходной вентиль). Сила симуляции Патерсона-Валианта заключается в том, что она применима к произвольным, даже очень несбалансированным цепям, глубина которых составляет почти весь размер! Но в вашей настройке ограниченной глубины даже случай неясен: может ли каждая схема глубины 3 размера быть преобразована в формулу глубины 3 размера, намного меньшего, чем $k$ $A=k$ $A=k−1$ $k=3$ $S$ $S^2$ ? Я думаю, что ответ должен быть «нет» (может быть интересным упражнением для студентов). Формула глубины 3 - это просто ИЛИ КНФ. Вопрос состоит в том, чтобы найти ИЛИ CNF, которые имеют много общих положений, но в остальном «сильно отличаются», чтобы получить формулу большой глубины-3.

Проблема в том, что мы хотим получить формулу (схема разветвления-1). Как было указано выше, использование вентилей fanout-2 упрощает симуляцию: Гувер, Клаве и Пиппенгер [JACM 31 (1), 1980] показывают, что любая схема fanin-2 размера и глубины имеет эквивалентный fanin-2 и fanout -2 схема размер и глубиной . Таким образом, если fanin не ограничен, то результирующая схема будет иметь размер и глубину . $S$ $D$ $3S−2n$ $2D$ $O(S^2)$ $O(D\log S)$

Есть еще один результат, как-то связанный с вашим вопросом. Ложкин (1981) доказал, что если булева функция может быть вычислена по формуле глубины и размера , то может быть вычислена по формуле fanin-2 глубины (это следует из теоремы 6.2 в моей книге). Обратите внимание, что тривиальная верхняя граница была бы только (если бы мы моделировали каждый отдельный вентиль с помощью дерева глубины ). $f$ $AC^0$ $k$ $S$ $f$ $D\leq k-1+\lceil\log_2S\rceil$ $D\leq k\log S$ $\log S$

— Стасис
источник