Нижняя граница размера формулы для функций AC0

Вопрос:

Какова самая известная нижняя граница размера формулы для явной функции в AC ⁰ ? Существует ли явная функция с нижней границей $\Omega(n^2)$ ?

Задний план:

Как и большинство нижних границ, трудно найти нижние границы размера формулы. Меня интересуют нижние границы размера формулы над стандартным набором универсальных вентилей {AND, OR, NOT}.

Самая известная нижняя граница размера формулы для явной функции над этим набором логических элементов равна $\Omega(n^{3-o(1)})$ для функции, определенной Андреевым. Эта граница была показана Хостадом, улучшив нижнюю оценку Андреева $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ . Другой явной нижней границей является нижняя граница Храпченко $\Omega(n^2)$ для функции четности.

Однако эти две функции не находятся в AC ⁰ . Мне интересно, если мы знаем явную функцию в AC ⁰ с квадратичной (или лучше) нижней границей. Лучшая оценка, которую я знаю, это нижняя граница $\Omega(n^2/\log n)$ для функции Различия Элементов, как показано Нечипоруком. Обратите внимание, что функция отличимости элемента находится в AC ⁰ , поэтому я ищу нижнюю границу для явной функции AC ^0, которая лучше, чем $\Omega(n^2/\log n)$ , предпочтительно $\Omega(n^2)$ .

Дальнейшее чтение:

Отличный ресурс по этой теме - «Сложность булевых функций: достижения и границы» Стасиса Юкны. Черновик книги доступен бесплатно на его сайте.

— Робин Котари
источник

Может ли причина отсутствия суперлинейных нижних границ для функций

быть в некоторой степени самоустраиваемостью для функций

? то есть , если мы имеем

LowerBound (где

не зависит от глубины) , то мы получим superpoly LowerBound.

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

n^{1 + ϵ}

$n^{1+\epsilon}$

ϵ

$\epsilon$

— Каве

@Kaveh: я не уверен, что понимаю. У нас уже есть нижняя граница

для функции из

(отличимость элемента).

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

A C^{0}

$AC^0$

— Робин Котари

Извините, замените суперлинейный на супер-квадратичный. Я имею в виду что-то похожее на результат Аллендера-Куки для

. Экспонента для

может быть больше. Такой результат может объяснить , почему это трудно найти

lowerbounds для

функций.

T C^{0}

$TC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Каве

Кажется, что любая проблема, которая является полной для

при сокращениях по Тьюрингу

является самовосстанавливаемой, но, похоже, это не дает того, чего я ожидал, поскольку размер самоуничтожения может быть полиномиально большим.

A C^{0}

$AC^0$

N C^{0}

$NC^0$

— Каве

Ответы:

Хороший вопрос! Храпченко определенно не может дать квадратичные нижние оценки для функций . Его нижняя граница фактически равна как минимум квадрату средней чувствительности. И все функции в имеют полулогарифмическую среднюю чувствительность. Субботовская-Андреев, по-видимому, также не может дать такую функцию, потому что аргумент, который они используют (случайное ограничение приводит к гораздо меньшим формулам), как раз и является причиной принудительного увеличения размера схемы ; Переключающая лемма Хастада (не совсем уверен, просто интуиция). Единственная надежда - Нечипорук. Но его аргумент не может дать больше $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ По информационным теоретическим причинам. Так может ли быть так, что все в имеет формулы квадратичного (или даже меньшего) размера? Я не верю в это, но не смог быстро найти контрпример. $AC^0$

На самом деле, феномен Аллендера-Куки возникает и в другом контексте - в сложности графа. Скажем , что схема переменных представляет собой двудольный граф на вершинах , если для каждого входного вектора с ровно два 1s, скажем, позиции и ( , ) схема принимает тогда и только тогда вершины и $2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ смежны в . Проблема: проявляет явный граф требует , по крайней мере ворот , чтобы быть представлена монотонной -circuit. Похоже , невинный вопрос (так как большинство графов требуют около ворот. Но любой такого граф даст нам булеву функцию переменных , требующие немонотонную логарифмическую глубину схему суперлинейного размера (по результатам Доблестный). Таким образом, даже доказательство нижних границ для схем глубины 3 может быть проблемой. $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— Стасис
источник

Добро пожаловать в историю. :) (кстати, ваша новая книга выглядит довольно интересно, к сожалению, я не являюсь носителем английского языка, поэтому не могу помочь с ее корректурой.)

— Kaveh

На самом деле, любые комментарии / критические замечания по содержанию / ссылкам и т. Д. На данный момент также очень важны. Текущая версия здесь . Пользователь: друг Пароль: catchthecat

— Stasys

Спасибо :) Я собираюсь прочитать последние главы о сложности доказательственного предложения.

— Каве

Большое спасибо за ответ! Если вы думаете о функции в

которую, по вашему мнению, требует формула размера

, мне будет интересно узнать.

A C^{0}

$AC^0$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Робин Котари

Спасибо, Каве, за желание взглянуть на главы о сложности доказательства!

Относительно вопроса Робина, во-первых, примечание содержит функции, требующие формул (и даже цепей) размера для любой константы . Это следует, скажем, из простого факта, что содержит все DNF с постоянно длинными мономами. Таким образом, содержит не менее различных функций для любого . С другой стороны, мы имеем не более функций вычисляемых по формулам размера $AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$ ,

Я коротко обсудил вопрос получения явных нижних границ или больше с Игорем Сергеевым (из Московского университета). Одной из возможностей может быть использование метода Андреева, но применение к некоторой другой, более простой для вычисления функции вместо контроля четности. То есть рассмотрим функцию из переменных вида где а - функция из $n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ из переменных; - одна из самых сложных функцийпеременных (достаточно просто наличия ). Нам нужно только, чтобы функцию нельзя было «убить» в следующем смысле: если мы фиксируем всепеременные,кроме в , то должна быть возможность исправить все, кроме одной из оставшихся переменных в чтобы полученная подфункция это одна переменная. Тогдаприменяя аргумент Андреева и используя результат Hastad о томчто сжатие постоянная,крайней мере (не только $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ как ранее показала Сибботовская), полученная нижняя оценка для будет около . Конечно, мы знаем, что любую функцию в можно убить, зафиксировав все переменные, кроме , для некоторой константы . Но , чтобы получить нижняя граница этого будет достаточно , чтобы найти явную функцию , которые не могут быть убиты, фиксируя все , но, скажем, $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$ переменные. Нужно искать такую функцию на глубине больше двух.

На самом деле, для функции как указано выше, можно получить нижние оценки для помощью простого жадного аргумента, без Нечипорука, без Субботовской и без случайных ограничений! Для этого достаточно просто, чтобы «внутренняя функция» g (Y) была нетривиальной (зависит от всех ее переменных). Более того, оценка верна для любого базиса постоянных вееров, а не только для формул де Моргана. $F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

Доказательство: учитывая формулу для с листами, выберите в каждом блоке переменную, которая наименьшее число раз появляется в виде листа. Затем установите все остальные переменные в соответствующие константы так, чтобы каждый превращался в переменную или ее отрицание. Полученная формула будет тогда как минимум в раз меньше, чем исходная формула. Таким образом, не менее $F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ умножить на формулу размера от , то есть . QED $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

Для того, чтобы получить или более, один должно включать Субботовский-Hastad эффект усадки при случайных ограничениях. Возможным кандидатом может быть какая-то версия функции Сипсера, используемая Hastad, чтобы показать, что схемы глубины более мощные, чем схемы глубины . $n^2$ $(d+1)$ $d$

— Стасис
источник