Отношения между машиной Тьюринга и лямбда-исчислением?

49

Есть ли связь между машиной Тьюринга и лямбда-исчислением - или они просто возникли примерно в одно и то же время?

computability lambda-calculus turing-machines

— Hawkeye
источник

7

Можете ли вы уточнить свой вопрос? Обе модели имеют одинаковую вычислительную мощность (обе способны выражать семейство рекурсивных функций), то есть они выполнены по Тьюрингу. См .: en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— Джоэл Рыбицки

по теме: Теория реализуемости: разница в мощности между лямбда-исчислением и машинами Тьюринга

— Каве

Это хороший вопрос!

— Тайфун Pay

31

Лямбда-исчисление старше, чем машинная модель Тьюринга, по-видимому, датируемая периодом 1928-1929 гг. (Seldin 2006), и было изобретено, чтобы заключить в себе понятие схематической функции, в которой нуждался Черч для основополагающей логики, которую он разработал. Он не был изобретен, чтобы охватить общее понятие вычислимой функции, и действительно, более слабая типизированная версия лучше послужила бы его целям.

Похоже, что это случайно, что изобретенное Церковью исчисление оказалось завершенным по Тьюрингу, хотя позднее Черч использовал исчисление лямбда-выражений в качестве основы для того, что он назвал эффективно вычислимыми функциями (1936), к которым Тьюринг обращался в своей статье. ,

Простая теория типов Черча (1940) предлагает более умеренную типизированную теорию функций, которая достаточна для выражения синтаксиса логики высшего порядка, но не выражает все рекурсивные функции. Эта теория может рассматриваться как более созвучная первоначальной мотивации Церкви.

Рекомендации

Церковь (1936). Неразрешимая проблема элементарной теории чисел. Американский журнал математики 58: 345—363.
Церковь (1940). Формулировка простой теории типов . Журнал символической логики 5 (2): 56—68.
Селдин (2006). Логика карри и церкви . В « Справочнике по истории логики», т.5: Логика от Рассела до Церкви , с. 819-874. Северная Голландия: Амстердам.

Примечание. Этот ответ существенно пересмотрен из-за возражений Каве и Сашо. Я рекомендую хронологию из Википедии, предложенную Каве, тезис «История Церкви - Тьюринга» , в котором есть некоторые цитаты из оригинальных статей.

— Чарльз Стюарт
источник

2

Чёрч заявил, что лямбда-исчисление фиксирует интуитивную нотацию вычислимой функции до статьи Тьюринга, поэтому она называется тезисом Чёрча. Идея захвата общего понятия вычислимых функций идет еще дальше (например, общие рекурсивные функции Годеля), и Черч пытался ее уловить.

— Каве

5

Я думаю, что вводить в заблуждение то, что эквивалентность моделей - это полная случайность, неверно. Мне кажется, что Церковь и Тьюринг намеревались уловить связанные понятия, даже если не сразу было очевидно, что эти понятия на самом деле связаны между собой. Вы бы сказали, что это «полная случайность», что интеграция Римана и антидифференциация тесно связаны?

— Сашо Николов

@Kaveh: Согласно Seldin (2006) логика Черча и Карри , цели и синтаксис лямбда-исчисления были разработаны в период с 1928 по 1929 годы, задолго до того, как Черч узнал об общем понятии рекурсивной функции. Мой ответ выиграл бы от графика времени, но у меня нет времени, чтобы собрать это прямо сейчас.

— Чарльз Стюарт

1

@Charles: Церковь была в Геттингене 1927-1928. Он наверняка знал, что происходит в теории рекурсивных функций и программе Гильберта. Результат Аккермана о непримитивной рекурсивной функции того же года. Церковь пыталась построить фундамент для математики. Все это произошло до статьи Тьюринга. Смотрите это . Клини доказал эквивалентность общих рекурсивных функций и

-определимых функции перед работой Тьюринга. Ваш последний абзац вводит в заблуждение, поскольку он дает ощущение, что они были

λ

$\lambda$

— Kaveh

1

@ Чарльз, как я уже писал, я согласен с тем, что первоначальной мотивацией Черча было создание основы (что-то вроде системы Фреге) (AFAIK), но он также рассматривал ее как вычислительную модель до работы Тьюринга. Я не думаю, что ответ должен быть удален, пересмотр второго параграфа должен сделать это хорошо. (Причина, по которой я это прокомментировал, заключается в том, что я чувствую, что в последнее время люди недооценивают работу Церкви по сравнению с вычислимостью.)

— Каве,

26

Я просто хотел бы отметить, что, хотя лямбда-исчисление и машины Тьюринга оба вычисляют один и тот же класс теоретико-числовых функций, они не являются абсолютно эквивалентными во всех возможных представлениях. Например, в теории реализуемости есть утверждения, которые могут быть реализованы машиной Тьюринга, но не лямбда-исчислением. Одним из таких утверждений является формальный тезис Церкви, который гласит:

\forall е : N a T \to N a T \exists е \forall N \exists К (T (е, N, К) \land U (К, е (N)))

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

$\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ , Это невозможно сделать (я могу объяснить почему, если вы зададите это как отдельный вопрос).

— Андрей Бауэр
источник

4

T_{E} X

$T_EX$

Андрей, статья в Википедии использует другой порядок параметров, который вы используете, второй аргумент - это ввод, а третий - код остановки вычислений, первый аргумент - код машины. Я предполагаю, что вы заявляете CT, я редактировал его на основе vDT88.

— Каве

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

@Kaveh: Я думаю, что это было наоборот, но я также удивляюсь, почему не естественно иметь такой же тип вывода, как и в случае лямбда-исчисления.

— Абель Молина

1

f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

11

Они связаны как математически, так и исторически.

Лямбда-исчисление было разработано в 1928 - 1929 годах Алонзо Черчем (опубликовано в 1932 году).

Машина Тьюринга была разработана в 1935 - 1937 годах Аланом Тьюрингом (опубликована в 1937 году).

Алан Тьюринг был доктором философии Алонзо Черча. студент в Принстоне с 1936 по 1938 год.

Машины Тьюринга и лямбда-исчисление эквивалентны вычислительной мощности: каждая может эффективно моделировать другую.

— Мэтт Мэйт
источник

6

Entscheidungsproblem является одной из известных 23 задач, предложенных математиком Дэвидом Гильбертом.

В 1936 и 1937 годах Алонзо Черч и Алан Тьюринг, соответственно, опубликовали независимые документы, показывающие, что невозможно алгоритмически решить, являются ли утверждения в арифметике истинными или ложными, и, таким образом, общее решение проблемы Энтшайдунга невозможно.

Это было сделано Алонзо Черчем в 1936 году с концепцией «эффективной вычисляемости», основанной на его исчислении λ, и Аланом Тьюрингом в том же году с его концепцией машин Тьюринга. Позже было признано, что это эквивалентные модели вычислений. - Википедия

Таким образом, лямбда-исчисление и машины Тьюринга не просто тесно связаны, но они являются эквивалентными моделями вычислений .

Возможно, вам также понравится читать «Аннотированный Тьюринг: экскурсия с гидом» по исторической статье Алана Тьюринга о вычислимости и машине Тьюринга Чарльза Петцольда . Эта книга содержит интересную информацию по теме.

— Пратик Деогхаре
источник

4

Машины Тьюринга и Лямбда-исчисление - две модели, которые отражают понятие алгоритма (механические вычисления). Лямбда-исчисление было изобретено Церковью для выполнения вычислений с функциями. Это основа функциональных языков программирования. По сути, любая задача, вычислимая (разрешимая) машинами Тьюринга, также вычисляется с использованием лямбда-исчисления. Таким образом, они представляют собой две эквивалентные модели вычислений (с точностью до полиномиальных факторов), и обе пытаются уловить силу любого механического вычисления.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник