Нахождение конечной модели

11

Я знаю, что вопрос «имеет ли формула первого порядка модель» вообще неразрешим. $\phi$

Может ли кто-нибудь дать мне ссылку или книгу, которая даст ответ для конечных моделей. Если у меня есть формула первого порядка , можно ли имеет ли конечную модель? Я почти уверен, что вопрос хорошо известен, но я даже не знаю, с чего начать поиск ответа. (Например, я ожидал, что это будет в «Элементах теории конечных моделей» Либкина, но, похоже, я не могу его найти.) $\phi$ $\phi$

Вторая часть моего вопроса: есть ли известные ограничения, так что проблема разрешима?

Например, проблема может стать разрешимой для формулы первого порядка только с монадическими предикатами. Или когда у нас есть монадический предикат плюс отношение-преемник. Но я не могу представить алгоритм, чтобы решить, существует ли (конечная) модель над этими ограничениями.

— Артур МИЛКИОР
источник

Вы читали какие-либо книги по теории конечных моделей?

— Дейв Кларк

@ Дэйв Кларк: книга Либкина «Элемент теории конечных моделей» и «Описательная сложность» Иммермана

— Артур МИЛКИОР

Вы ищете теорему Трахтенброта? Во второй части один простой пример состоит в том, что MSO над словами, обозначающими обычные языки, можно проверить на удовлетворенность, поскольку сама структура слов - это то, что можно описать в MSO.

— Микаэль Кадилхак

Мерси Михаэль. Кажется, это действительно отвечает на первую часть моего вопроса. Но я все еще ищу то, что известно об ограничениях.

— Артур МИЛЬЧИОР

1

@ Михаэль Кадильхак - Почему бы не опубликовать ответ? Теорема Трахтенброта покрыта в книге Либкина в главе 9.

— Марк Hamann

14

На первую часть вашего вопроса отвечает теорема Трахтенброта . Вторая часть действительно довольно большой вопрос. В зависимости от реляционной структуры, над которой вы работаете, может быть дано несколько решений. Например, если вы заинтересованы в формальных языках, MSO над структурами слов соответствует обычным языкам, а логика сопоставления ( см. Это ) соответствует CFL, и, следовательно, проблема их выполнимости разрешима.

Вы должны взглянуть на главу 14 Libkin, где доказано, что хорошие сегменты FO имеют разрешимую проблему выполнимости в соответствии с количеством разрешенных чередований кванторов.

— Михаэль Кадилхак
источник

2

Как говорит Михаэль, большая часть вычислительной логики, кажется, посвящена поиску и изучению фрагментов, где связанные проблемы разрешимы (или поддаются решению). Просто упомяну один хороший обзор: Готтлоб, Колайтис, Швентик, Экзистенциальная логика второго порядка над графами: Граница границ управляемости, JACM 2004, dx.doi.org/10.1145/972639.972646

— Саламон,

Спасибо за ваш ответ. Что касается вопроса, о котором я думал, он, как известно, совпадает с MSO, но над вложенными словами. Следовательно, если доказательство разрешимости MSO над словами использует доказательство разрешимости пустоты CFL, это мне не очень помогает. И спасибо за «логику сопоставления», я этого не знал, но это похоже на вложенные слова, поэтому может заинтересовать меня.

— Артур МИЛЬЧИОР

4

Я не знаю ответа для произвольных фрагментов FO. Классическая модальная логика и ее расширения имеют несколько свойств разрешимости. При стандартных переводах вы получаете фрагменты классической логики, которые разделяют эти свойства.

Модальная логика и бизимуляционный инвариантный фрагмент FOL с двумя переменными.
CTL * и фрагмент инварианта бисимуляции в монадической логике пути.
Му-исчисление и фрагмент инварианта бисимуляции в монадической логике второго порядка.

Все модальные логики выше разрешимы и имеют свойство конечной модели. Другие логики с устойчивыми свойствами разрешимости - это защищенный фрагмент FO, слабо защищенный фрагмент и защищенная логика с фиксированной точкой. Эти логики были разработаны для того, чтобы перенести суть качественных свойств модальных логик в классическую логическую систему. Защищенная логика с фиксированной точкой разрешима, но не обладает свойством конечной модели.

— Виджай Д
источник

1

То, что следует, следует воспринимать не как истину из учебника для магистратов, а просто как предложения для ваших дальнейших исследований. Редакторы могут вносить исправления по своему усмотрению.

Во-первых, ваш вопрос, по-видимому, представляет интерес для сообщества Automated Deduction. У Уильяма Маккуна есть программа под названием Mace4, которая ищет конечные модели. Возможно, вы захотите прочитать документацию, которая описывает, как это делается.

Что касается конкретных разрешаемых ограничений, вы можете посмотреть на следующее:

Случаи, когда Вселенная Гербранда конечна. Одним из механических способов проверки подмножества этих случаев является проверка наличия в формуле функциональных символов. Если это не так, Вселенная Гербранда конечна.
Случаи, когда исключение квантификатора возможно: теория.stanford.edu/~tingz/talks/qe.ps

— Застенчивый человек
источник

0

В дополнение к ответам, которые уже были даны: очень хорошая ссылка о (не) разрешимости фрагментов логики первого порядка - это книга «Классическая задача решения » Боргера, Гределя и Гуревича.

— ФХ
источник