Упаковка прямоугольников в выпуклые многоугольники, но без поворотов

23

Меня интересует проблема упаковки идентичных копий (2-мерных) прямоугольников в выпуклый (2-мерный) многоугольник без перекрытий. В моей задаче вы не можете поворачивать прямоугольники и можете предполагать, что они ориентированы параллельно осям. Вам только что дали размеры прямоугольника и вершины многоугольника и спросили, сколько одинаковых копий прямоугольника может быть упаковано в многоугольник. Если вам разрешено вращать прямоугольники, то, как мне кажется, эта проблема является NP-сложной. Однако что известно, если вы не можете? Как насчет того, чтобы выпуклый многоугольник был просто треугольником? Существуют ли известные алгоритмы аппроксимации, если задача действительно NP-сложная?

Итог пока (21 марта 11 года). Питер Шор замечает, что мы можем рассматривать эту проблему как один из квадратов упаковочных единиц в выпуклом многоугольнике и что эта проблема возникает в NP, если вы накладываете полиномиальную границу на число квадратов / прямоугольников, которые должны быть упакованы. Сариэль Хар-Пелед отмечает, что существует PTAS для того же ограниченного полиномом случая. Однако в общем случае количество упакованных квадратов может быть экспоненциальным по размеру входных данных, которые состоят только из, возможно, короткого списка пар целых чисел. Следующие вопросы кажутся открытыми.

Полная неограниченная версия в NP? Есть ли PTAS для неограниченной версии? Является ли полиномиально ограниченный случай в P или NPC? И мой личный фаворит, легче ли будет проблема, если вы просто ограничитесь упаковкой квадратов в треугольник?

— Рафаэль
источник

Упаковка с прямоугольниками 1x3 является NP-полной (с вращением), и я думаю, это станет легко, если мы запретим вращения. Вы найдете максимальное количество прямоугольников для каждой строки (или столбца) и добавите их, чтобы получить общее максимальное количество упакованных прямоугольников.

— Мухаммед Аль-Туркистани

Я не уверен, что установка размеров 1x3 (или что-то еще) слишком помогает для моей проблемы, не так ли? Выпуклый многоугольник не обязательно должен иметь какие-либо стороны, параллельные осям, и вам все еще нужно решить, куда поместить прямоугольники. Вы могли бы сначала разместить их ниже по оси Y, а затем выровнять по левому краю как разумную эвристику, но вы можете довольно легко построить примеры там, где это не оптимально.

— Рафаэль

9

Вы можете применить аффинное преобразование, чтобы сделать все прямоугольники

. Таким образом, проблема эквивалентна проблеме упаковки квадратов.

1 \times 1

$1 \times 1$

— Питер Шор

1

@turkistany: Не могли бы вы дать мне ссылку, которая показывает NP-полноту для прямоугольников 1x3? Или это легко наблюдать?

— Ёсио Окамото

3

Поиском, основанным на наблюдениях Питера Шора, является maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html , что интересно. Однако, похоже, он сфокусирован на простых простых полигонах (то есть они могут быть вогнутыми).

— Рафаэль

12

Проблема может быть переформулирована как выбор максимального количества точек внутри выпуклого многоугольника, так что каждая их пара находится на расстоянии (под метрикой ), по крайней мере, друг от друга (просто подумайте о центрах квадратов) , Это, в свою очередь, связано с той же проблемой, когда используется обычное евклидово расстояние. Это, в свою очередь, связано с построением сетки, где каждый заинтересован в разбиении многоугольника на области с хорошим поведением (т. Е. Вы берете диаграмму центров Вороного [см. Центроидальные тесселяции Вороного]). $L_\infty$ $1$

$(1-\epsilon)$ $O(1/\epsilon)$ $O(M*noise(\epsilon))$ $M$ $noise(\epsilon)$ $\epsilon$

— Сариэль Хар-Пелед
источник

Спасибо. Правильно ли я думаю, что даже в случае, когда у нас есть полиномиальная граница для числа прямоугольников / квадратов, все еще не ясно, если проблема в P?

— Рафаэль

1

Вот мои 2 цента догадок / предположений ... Было бы удивительно, если бы он был в P - вам нужно было бы показать некоторые дополнительные свойства оптимального решения. Тем не менее, я думаю, что формальное доказательство твердости NP недостижимо - проблема имеет слишком большую структуру. Федер и Грин показали, что кластеризация k-центра является NP-трудной для аппроксимации в пределах определенного фактора. Я думаю / размышляю, что их доказательство может быть использовано, чтобы доказать, что вышеупомянутая проблема является NP-Hard, если у многоугольника есть дыры ...

— Сариэль Хар-Пелед

2

Эти две статьи посвящены вашей проблеме:

Э.Г. Биргин и Р.Д. Лобато, " Ортогональная упаковка одинаковых прямоугольников в изотропных выпуклых областях ", Компьютеры и промышленная инженерия 59, с. 595-602, 2010.

Э.Г. Биргин, Дж.М. Мартинес, Ф.Х. Нишихара и Д.П. Ронкони, « Ортогональная упаковка прямоугольных элементов в произвольных выпуклых областях путем нелинейной оптимизации », Компьютеры и исследования операций 33, с. 3535-3548, 2006.

— Маркус Ритт
источник

В этих работах рассматривается решение проблемы на практике. Насколько я могу судить, вопрос заключается в том, является ли проблема NP-трудной.

— Андрас Саламон

3

Это довольно легко показать, что это в NP. Предположим, я даю вам диаграмму оптимальной упаковки, которая говорит вам, какие квадраты касаются какой стороны многоугольника, а какие квадраты выше / ниже / слева / справа от других квадратов. Вопрос о том, можете ли вы найти координаты для набора квадратов, которые упаковываются именно таким образом, является линейной программой, и поэтому вы можете убедиться, что это диаграмма для выполнимой упаковки.

— Питер Шор

4

Если все вершины вашего многоугольника являются целыми числами (или рациональными числами), стандартный результат для линейных программ говорит о том, что вам не нужно больше, чем полиномиальная величина дополнительной точности, и линейная программа может быть решена точно за полиномиальное время. Извините, если вы уже знали это, но я не могу сказать из вашего комментария выше - и даже если вы знали, некоторые люди не будут.

— Питер Шор

2

Спасибо. Я знал это однажды, но мне было приятно напомнить. Также кажется, что вы можете иметь экспоненциальное количество квадратов, упакованных в многоугольник, поэтому я не уверен, что вы можете позволить себе перечислить их все. Может быть, есть какое-то масштабирование, которое вы можете сделать, чтобы обойти это?

— Рафаэль

3

@Rafael: Я предполагал (без обоснования), что у вас есть полиномиальная оценка числа квадратов. Если вы разрешите экспоненциальные размеры полигонов, все станет намного сложнее.

— Питер Шор

1

Питер Шор заметил, что при пересчете эта проблема превращается в упаковку единичных квадратов в выпуклый многоугольник.

Редактировать: остальная часть этого ответа не применяется, так как отбрасывает явно установленное требование, чтобы все упаковываемые фигуры имели одинаковый размер.

Соответствующий вопрос NP-Hardness для частного случая проблемы ортогональной упаковки упоминает статью с результатом, необходимым для первого вопроса:

Собирая квадраты в квадрат, Джозеф Ю.Т. Леунг, Томми В. Там, К. С. Вонг, Гилберт Х. Янг и Фрэнсис Ю. Л. Чин, Журнал параллельных и распределенных вычислений 10 271–275. ( ссылка )

Из бумаги:

мы показываем, что задача квадратной упаковки сильно NP-полна, сводя к ней задачу о 3-разбиениях.

Следовательно, проблема NP-трудна даже для особого случая, когда упаковываемые прямоугольники похожи на контейнер. (В отличие от авторов этой статьи, я не полностью убежден, что проблема в NP, так как позиции, возможно, придется указывать с большой точностью, что может привести к тому, что проверка больше не будет полиномиальной по входному размеру. )

— Андраш Саламон
источник

5

Глядя на бумагу, из диаграмм видно, что упаковываемые квадраты не имеют одинаковый размер.

— Питер Шор

1

@ Питер: Вы правы, эта статья не имеет ничего общего с проблемой Рафаэля.

— Андрас Саламон

0

Может быть, эта статья может быть интересна для вас:

Мозаика многоугольника с прямоугольниками. Автор Kenyon & Kenyon в FOCS 92.

— Сильвен Пейроннет
источник

Спасибо. Однако, если я правильно понимаю, плитка точно покрывает многоугольник. Это почти никогда не будет возможно в моем случае (рассмотрим произвольный треугольник в некоторой произвольной ориентации), что, кажется, делает мою проблему оптимизации принципиально иной.

— Рафаэль

действительно, это не та же проблема, моя ошибка.

— Сильвен Пейроннет

0

Если многоугольник, в который вы хотите упаковать, не обязательно выпуклый, то я думаю, что проблема становится NP-трудной. Вот очень схематичное доказательство. Снижение происходит от некоторой проблемы типа Planar-3-SAT. Для каждой переменной у вас может быть место 1.1 x 1, в зависимости от того, где в этой области вы разместите один квадрат, будет определять, является ли ваша переменная истинной или ложной. Кроме того, если вы покидаете область .1 влево / вправо, то вы можете переместить еще два квадрата внутрь, а также те, что позади них, в конечном итоге предоставив еще одно свободное пространство .1 где-нибудь еще, что вместе теперь влияет на четыре квадрата и так далее. После того, как у вас будет столько копий, сколько вхождений соответствующего литерала, вы подключаете эти трубки к соответствующему компоненту предложения и снова используете некоторый аналогичный гаджет, чтобы гарантировать, что по крайней мере одна из трех входящих трубок должна иметь дополнительный пробел .1.

— domotorp
источник

1

Это звучит правдоподобно. Обратите внимание, что Рафаэль предоставил ссылку в комментарии maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html с указателем на статью с фактическим сокращением.

— Андрас Саламон

О, я не заметил, спасибо.

— Домоторп