NP-твердость частного случая задачи ортогональной упаковки

Позволять $V$ быть набором $D$прямоугольные формы. За$d \in \{1,...,D\}$ а также $v \in V$, $w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$ описывает длину $v$ в измерении $d$, То же обозначение используется для контейнера$C$, $D$задача об ортогональной упаковке (OPP-$D$) решить, $V$ помещается в контейнер $C$без перекрытия. Формально говоря, проблема состоит в том, чтобы выяснить,$\forall d \in \{1,...,D\}$ существует функция $f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$такой, что $\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ а также $\forall v_1,v_2 \in V$, $(v_1 \neq v_2)$, $[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$,

Задача является NP-полной (см. Fekete SP, Schepers J. "О многомерной упаковке I: моделирование". Технический отчет 97–288, University of zu Köln, 1997). Проблема является NP-полной даже для$D=2$, Мне интересно, является ли проблема ортогональной упаковки для ограниченного числа типов (т.е. размеров в каждом измерении) предметов до сих пор NP-полной или нет. До сих пор я нашел результат в какой-то статье о NP-полноте упаковки квадратов в квадрат (см. ДЖОЗЕФ Ю.Т. ЛЕНГ, ТОММИ В. ТАМ И С.С. ВОНГ, «Упаковка квадратов в квадрат», Журнал параллельных и распределенных вычислений, Том 10, выпуск 3, ноябрь 1990 г.), который уже является ограничением, но я до сих пор не знаю, что происходит, когда количество типов элементов ограничено.

Спасибо за ваш ответ,

Я думаю, что статья Клауса Янсена и Роберто Солис-Обы « Алгоритм OPT + 1 для решения проблемы режущего материала с постоянным числом длин объекта » частично отвечает на ваш вопрос. Они рассматривают особый случай вашей проблемы, известный как проблема Cutting Stock, когда число различных типов объектов постоянно и определяется следующим образом:

В задаче обрезного материала нам дан набор$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$ типов объектов, где объекты типа $T_i$ иметь положительную целую длину $p_i$, Учитывая бесконечный набор бинов, каждый из целочисленной емкости$\beta$проблема состоит в том, чтобы упаковать набор $\mathcal{O}$ из $n$возражает против минимально возможного количества бункеров таким образом, чтобы емкость бункеров не превышалась; в комплекте$\mathcal{O}$ есть $n_i$ объекты типа $T_i$, для всех $i =1,\dots,d$,

Авторы утверждают, что

неизвестно, можно ли решить проблему режущего материала за полиномиальное время для каждого фиксированного значения $d$,

И они предлагают $OPT+1$ аппроксимационный алгоритм полиномиального времени, когда $d$ фиксированный.

Поскольку не доказано, что этот особый случай $P$это доказательство того, что ваша проблема $NP$-жесткий.

Приложение: это известно , что в случае с двумя типами объектов ($d=2$) полиномиально разрешима, но для $d=3$ там известно только $OPT+1$-приближение.