Методы обращения порядка квантификаторов


73

Хорошо известно, что в целом порядок универсальных и экзистенциальных кванторов нельзя изменить. Другими словами, для общей логической формулы ϕ(,) ,

(x)(y)ϕ(x,y)(y)(x)ϕ(x,y)

С другой стороны, мы знаем, что правая сторона более ограничительна, чем левая; то есть .(y)(x)ϕ(x,y)(x)(y)ϕ(x,y)

Этот вопрос фокусируется на методах получения , всякий раз, когда это верно для .(x)(y)ϕ(x,y)(y)(x)ϕ(x,y)ϕ(,)

Диагонализация является одним из таких методов. Впервые я вижу это использование диагонализации в статье « Релятивизация вопросаP=?NP (см. Также короткую заметку Каца ). В этой статье авторы сначала доказывают, что:

Для любой детерминированной машины оракула M за полиномиальное время существует такой язык B, что .LBL(MB)

Затем они меняют порядок квантификаторов (используя диагонализацию ), чтобы доказать, что:

Существует такой язык B, что для всех детерминированных M мы имеем .LBL(MB)

Этот метод используется в других статьях, таких как [CGH] и [AH] .

Я нашел другую технику в доказательстве теоремы 6.3 из [IR] . Он использует комбинацию теории меры и принципа голубиных отверстий, чтобы изменить порядок квантификаторов.

Я хочу знать, какие еще методы используются в информатике, чтобы изменить порядок универсальных и экзистенциальных квантификаторов?


14
Вау, это отличный вопрос. Простое чтение заставило меня по-другому взглянуть на «знакомые» объекты. Спасибо!
Марк Рейтблатт

Ответы:


68

Обращение кванторов является важным свойством, которое часто стоит за хорошо известными теоремами.

Например, в анализе разница между и - это разница между точечной и равномерной непрерывностью. Хорошо известная теорема гласит, что каждое поточечное непрерывное отображение равномерно непрерывно, если область хороша, т. Е. Компактна .ϵ>0.x.δ>0ϵ>0.δ>0.x

Фактически, компактность лежит в основе изменения квантификатора. Рассмотрим два типа данных и из которых является откровенное и компактно (см ниже для объяснения этих терминов), и пусть будет полуразрешимым связь между и . Заявление можно прочитать следующим образом: каждая точка в покрыта некоторой . Поскольку множества "вычислимо открыты" (полуразрешимы) иXYXYϕ(x,y)XYy:Y.x:X.ϕ(x,y)yYUx={z:Yϕ(x,z)}UxYкомпактен, существует конечное подпокрытие. Мы доказали, что подразумевает, что Часто мы можем сократить существование конечного списка до одного . Например, если линейно упорядочен и является монотонным по относительно порядка, то мы можем взять как наибольшее из .

y:Y.x:X.ϕ(x,y)
x1,,xn:X.y:Y.ϕ(x1,y)ϕ(xn,y).
x1,,xnxXϕxxx1,,xn

Чтобы увидеть, как этот принцип применяется в знакомом случае, давайте посмотрим на утверждение, что является непрерывной функцией. Мы сохраняем как свободную переменную, чтобы не запутаться во внешнем универсальном квантификаторе: Поскольку является компактным, а сравнение вещественных чисел полуразрешимо, утверждение полуразрешима. Положительные реалы явные и компактны, поэтому мы можем применить принцип: f:[0,1]Rϵ>0

x[0,1].δ>0.y[xδ,x+δ].|f(y)f(x)|<ϵ.
[xδ,x+δ]ϕ(x,δ)y[xδ,x+δ].|f(y)f(x)|<ϵ[0,1]
δ1,δ2,,δn>0.x[0,1].ϕ(δ1,x)ϕ(δn,x).
Поскольку является антимонотонным в наименьший из выполняет свою работу, поэтому нам просто нужен один : То, что мы получили, это равномерная непрерывность .ϕ(δ,x)δδ1,,δnδ
δ>0.x[0,1].y[xδ,x+δ].|f(y)f(x)|<ϵ.
f

Неопределенно говоря, тип данных является компактным, если он имеет вычислимый универсальный квантификатор, и явным, если он имеет вычислимый экзистенциальный квантификатор. (Неотрицательные) целые числа явные, потому что для того, чтобы решить, ли , с полуразрешимым , мы выполняем поиск паралелей, используя ласточкин хвост . Пространство Кантора компактно и открыто, как объясняется в книге Пола Тейлора " Абстрактная двойственность камня" и в книге Мартина Эскардо " Синтетическая топология типов данных и классических пространств " (см. Также связанное понятие поисковых пространств ).NnN.ϕ(n)ϕ(n)2N

Давайте применим принцип к примеру, который вы упомянули. Мы рассматриваем язык как карту от (конечных) слов по фиксированному алфавиту до логических значений. Поскольку конечные слова находятся в вычислимом биективном соответствии с целыми числами, мы можем рассматривать язык как карту от целых чисел до логических значений. Таким образом, тип данных всех языков, с точностью до вычислимого изоморфизма, является именно пространством Кантора nat -> boolили в математической записи , который является компактным. Машина Тьюринга за полиномиальное время описывается программой, представляющей собой конечную строку, поэтому пространство всех (представлений) машин Тьюринга можно принять равным или , что является явным.2NnatN

Учитывая машину Тьюринга и язык , оператор который говорит, что «язык отклонен », является полуразрешимым, потому что на самом деле он разрешим: просто запустите с помощью ввода и посмотрите, что оно делает. Условия по нашему принципу выполнены! Утверждение «каждая оракул-машина имеет язык такой, что не принимается » символически записывается как После инверсии кванторов получим Mcrejects(M,c)cMMcMbbMb

M:N.b:2N.rejects(Mb,b).
b1,,bn:2N.M:N.rejects(Mb1,b1)rejects(Mbn,bn).
Итак, мы до конечного числа языков. Можем ли мы объединить их в один? Я оставлю это как упражнение (для себя и для тебя!).

Возможно, вас также заинтересует немного более общий вопрос о том, как преобразовать к эквивалентному утверждению вида или наоборот. Есть несколько способов сделать это, например:x.y.ϕ(x,y)u.v.ψ(u,v)


4
Это очень общее условие (одно пространство должно быть открытым, другое - компактным, а отношение - открытым), но это также методика: если вы можете найти топологии, которые удовлетворяют условиям, вы можете инвертировать квантификаторы.
Андрей Бауэр

8
@ Андрей, твой ответ действительно хороший и познавательный. Я никогда не знал, что есть связь между компактностью и обратными квантификаторами, пока не появится этот пост. Я чувствую себя просветленным.
Сянь-Чжи Чанг 之 之

8
Какой удивительный ответ.
Суреш Венкат

10
Я польщен Мне бы хотелось, чтобы больше людей знали о тесной связи между логикой, вычислениями и топологией.
Андрей Бауэр

6
@Andrej: Есть ли хорошая ссылка (особенно книга или конспект лекции) на «тесную связь между логикой, вычислениями и топологией»?
MS Dousti

25

Жесткая основная лемма Impagliazzo позволяет вам переключать квантификаторы в контексте предположений о вычислительной жесткости. Вот оригинал статьи . Вы можете найти тонны связанных бумаг и сообщений от Google.

Лемма гласит, что если для каждого алгоритма A существует большой набор входных данных, для которых A не удается вычислить фиксированную функцию f, то фактически существует большой набор входных данных, для которых каждый алгоритм не может вычислить f с вероятностью, близкой к 1. / 2.

Эта лемма может быть доказана с помощью теоремы min-max или бустинга (метод из теории вычислительного обучения), оба из которых являются примерами переключения квантификаторов.


3
Это отличный момент.
Суреш Венкат

17

Для меня «каноническое» доказательство теоремы Карпа-Липтона (что ) имеет такой вкус. Но здесь не фактическое утверждение теоремы, в котором квантификаторы обращаются вспять, а скорее «квантификаторы» обращаются вспять в модели чередующихся вычислений, используя предположение, что имеет маленькие цепи.NPP/polyΠ2P=Σ2PNP

Вы хотите смоделировать вычисление формы

(y)(z)R(x,y,z)

где - предикат полиномиального времени. Вы можете сделать это, угадав небольшую схему для (скажем) выполнимости, изменив так, что он проверяет себя и производит удовлетворяющее присваивание, когда его вход выполним. Затем для всех создайте экземпляр SAT который эквивалентен и решите его. Итак, вы произвели эквивалентное вычисление видаRCCyS(x,y)(z)R(x,y,z)

(C)(y)[S(x,y) выполнимо согласно .C]


Отлично! Это пример переключения квантификаторов на основе предположений.
MS Dousti

Хотя это совершенно правильно, я хотел предложить написать вместо , поскольку NP никогда не может быть равным P / poly. NPP/polyNPP/poly
MS Dousti

12

Основное использование границы объединения в вероятностном методе можно интерпретировать как способ изменения порядка квантификаторов. Хотя это уже упоминалось в вопросе неявно, потому что доказательство Импальяццо и Рудича является примером этого, я думаю, что стоит заявить более явно.

Предположим, что X конечно и что для каждого xX мы знаем не только то, что некоторый yY удовлетворяет φ ( x , y ), но также и то, что многие варианты yY удовлетворяют φ ( x , y ). Формально, предположим, что мы знаем (∀ xX ) Pr yY [¬φ ( x , y )] <1 / | X | для некоторой вероятностной меры на Y, Тогда оценка объединения позволяет заключить Pr yY [(( xX ) ¬φ ( x , y )] <1, что эквивалентно (∃ yY ) (∀ xX ) φ ( x , y ).

Есть варианты этого аргумента:

  1. Если X бесконечно, мы можем иногда дискретизировать X , рассматривая подходящую метрику на X и ее ε- сеть. После дискретизации X мы можем использовать объединение, как указано выше.

  2. Когда события φ ( x , y ) для разных значений x почти независимы, мы можем использовать локальную лемму Ловаша вместо границы объединения.


2
Цуёши, это ужасно не по теме, но пришло время назначить себя модератором :)
Суреш Венкат

10

Я хотел бы добавить несколько других методов. Хотя первые два метода не совсем предназначены для изменения порядка универсальных и экзистенциальных квантификаторов, они имеют очень похожий вид. Поэтому я воспользовался возможностью описать их здесь:

Лемма об усреднении: используется для доказательства и многих других интересных теорем. Неформально , предположим, что обозначает набор подписчиков некоторой библиотеки, обозначает набор книг в библиотеке, а для и предложение истинно, если "подписчик" любит книгу . " Усреднение леммы утверждает , что: если для каждого , существует , по крайней мере , 2/3 «с в таким образом, что выполнено, то существует единственныйBPPP/polySBsSbBϕ(s,b)sbsSbBϕ(s,b)bB, такой, что по крайней мере для 2/3 из в утверждение выполнено. (Это можно легко доказать с помощью доведения до абсурда и подсчета аргументов.)sSϕ(s,b)

Пусть теперь , и пусть быть РРТ машина , которая решает . Предположим, что время выполнения ограничено полиномом . Тогда для любого и, по крайней мере, для 2/3 's, , оно считает, что . Здесь, является машина , которая использует хаотичности , и является характеристической функцией . Затем используется лемма об усреднении, чтобы показать, что для любогоLBPPM()LMq()x{0,1}rr{0,1}q(|x|)Mr(x)=χL(x)Mr()MrχL()LnN, Существует единственный , таким образом, что , по крайней мере , 2/3 «ы длины , . Этот единственный работает как совет для , и, следовательно, .r{0,1}q(n)xnMr(x)=χL(x)rMBPPP/poly

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Замена леммы: Захос и Фюрер ввели новый вероятностный квантификатор (что примерно означает «для большинства»). Они доказали это (опуская детали):+

(y)(+z)ϕ(x,y,z)(+C)(y)(zC)ϕ(x,y,z)

Обратите внимание, что это логическая теорема второго порядка.

Используя лемму об обмене, они доказали ряд интересных теорем, таких как теорема BPP и теорема Бабая . Я отсылаю вас к оригинальной статье для получения дополнительной информации.MAAM

Теорема , аналогичная теореме Карп-Lipton упоминается в Райан Уильямс пост: .coNPNP/PolyΠ3P=Σ3P


Пометка: я хотел бы отметить, что фактическое доказательство BPP⊆P / poly требует немного большего, чем написано здесь, потому что строки с рекомендациями, которая работает только для 2/3 фракций, недостаточно. Но я думаю, что важным моментом первой половины этого ответа является то, что доказательство BPP⊆P / poly можно рассматривать как нечто похожее на инверсию квантификатора, что совершенно справедливо.
Цуёси Ито

@ Цуйоши: Вы правы. Но остальное доказательство использует последовательное повторение и границу Чернова для доказательства существования который работает для всех, кроме экспоненциально малой доли входных данных; и, как вы сказали, это не имеет отношения к инверсии квантификатора, поэтому я его опускаю. r
MS Dousti

Я не уверен, что вы поняли мою точку зрения. Я хочу сказать, что утверждение «усредняющей леммы» недостаточно для доказательства BPP⊆P / poly. Вам нужна более точная оценка, а именно оценка ожидаемой вероятности E_b [Pr_s φ (s, b)] вместо max_b [Pr_s φ (s, b)].
Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: боюсь, я тебя не понял. В предыдущем комментарии я отметил, что сначала мы увеличиваем погрешность 1/3 до , а затем применяем лемму об усреднении. Вот полное доказательство, взятое из книги Гольдрайха. Я что-то пропустил? 2|x|
MS Dousti

Спасибо! Я неправильно понял ваш комментарий. Я не знал, что BPP⊆P / poly можно доказать, сначала уменьшив ошибку, а затем применив усредняющую лемму (я думал о противоположном порядке).
Цуёси Ито
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.