Методы обращения порядка квантификаторов

Хорошо известно, что в целом порядок универсальных и экзистенциальных кванторов нельзя изменить. Другими словами, для общей логической формулы $\phi(\cdot,\cdot)$ ,

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

С другой стороны, мы знаем, что правая сторона более ограничительна, чем левая; то есть .$(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$

Этот вопрос фокусируется на методах получения , всякий раз, когда это верно для .$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$$\phi(\cdot,\cdot)$

Диагонализация является одним из таких методов. Впервые я вижу это использование диагонализации в статье « Релятивизация вопроса$\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ (см. Также короткую заметку Каца ). В этой статье авторы сначала доказывают, что:

Для любой детерминированной машины оракула M за полиномиальное время существует такой язык B, что .$L_B \ne L(M^B)$

Затем они меняют порядок квантификаторов (используя диагонализацию ), чтобы доказать, что:

Существует такой язык B, что для всех детерминированных M мы имеем .$L_B \ne L(M^B)$

Этот метод используется в других статьях, таких как [CGH] и [AH] .

Я нашел другую технику в доказательстве теоремы 6.3 из [IR] . Он использует комбинацию теории меры и принципа голубиных отверстий, чтобы изменить порядок квантификаторов.

Я хочу знать, какие еще методы используются в информатике, чтобы изменить порядок универсальных и экзистенциальных квантификаторов?

Обращение кванторов является важным свойством, которое часто стоит за хорошо известными теоремами.

Например, в анализе разница между и - это разница между точечной и равномерной непрерывностью. Хорошо известная теорема гласит, что каждое поточечное непрерывное отображение равномерно непрерывно, если область хороша, т. Е. Компактна .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

Фактически, компактность лежит в основе изменения квантификатора. Рассмотрим два типа данных и из которых является откровенное и компактно (см ниже для объяснения этих терминов), и пусть будет полуразрешимым связь между и . Заявление можно прочитать следующим образом: каждая точка в покрыта некоторой . Поскольку множества "вычислимо открыты" (полуразрешимы) и$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$компактен, существует конечное подпокрытие. Мы доказали, что подразумевает, что Часто мы можем сократить существование конечного списка до одного . Например, если линейно упорядочен и является монотонным по относительно порядка, то мы можем взять как наибольшее из .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Чтобы увидеть, как этот принцип применяется в знакомом случае, давайте посмотрим на утверждение, что является непрерывной функцией. Мы сохраняем как свободную переменную, чтобы не запутаться во внешнем универсальном квантификаторе: Поскольку является компактным, а сравнение вещественных чисел полуразрешимо, утверждение полуразрешима. Положительные реалы явные и компактны, поэтому мы можем применить принцип: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Поскольку является антимонотонным в наименьший из выполняет свою работу, поэтому нам просто нужен один : То, что мы получили, это равномерная непрерывность .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Неопределенно говоря, тип данных является компактным, если он имеет вычислимый универсальный квантификатор, и явным, если он имеет вычислимый экзистенциальный квантификатор. (Неотрицательные) целые числа явные, потому что для того, чтобы решить, ли , с полуразрешимым , мы выполняем поиск паралелей, используя ласточкин хвост . Пространство Кантора компактно и открыто, как объясняется в книге Пола Тейлора " Абстрактная двойственность камня" и в книге Мартина Эскардо " Синтетическая топология типов данных и классических пространств " (см. Также связанное понятие поисковых пространств ).$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Давайте применим принцип к примеру, который вы упомянули. Мы рассматриваем язык как карту от (конечных) слов по фиксированному алфавиту до логических значений. Поскольку конечные слова находятся в вычислимом биективном соответствии с целыми числами, мы можем рассматривать язык как карту от целых чисел до логических значений. Таким образом, тип данных всех языков, с точностью до вычислимого изоморфизма, является именно пространством Кантора nat -> boolили в математической записи , который является компактным. Машина Тьюринга за полиномиальное время описывается программой, представляющей собой конечную строку, поэтому пространство всех (представлений) машин Тьюринга можно принять равным или , что является явным.$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Учитывая машину Тьюринга и язык , оператор который говорит, что «язык отклонен », является полуразрешимым, потому что на самом деле он разрешим: просто запустите с помощью ввода и посмотрите, что оно делает. Условия по нашему принципу выполнены! Утверждение «каждая оракул-машина имеет язык такой, что не принимается » символически записывается как После инверсии кванторов получим $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Итак, мы до конечного числа языков. Можем ли мы объединить их в один? Я оставлю это как упражнение (для себя и для тебя!).

Возможно, вас также заинтересует немного более общий вопрос о том, как преобразовать к эквивалентному утверждению вида или наоборот. Есть несколько способов сделать это, например:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Сколем нормальной формы ,
• Гербранд нормальной формы ,
• Функциональная интерпретация Геделя .

Жесткая основная лемма Impagliazzo позволяет вам переключать квантификаторы в контексте предположений о вычислительной жесткости. Вот оригинал статьи . Вы можете найти тонны связанных бумаг и сообщений от Google.

Лемма гласит, что если для каждого алгоритма A существует большой набор входных данных, для которых A не удается вычислить фиксированную функцию f, то фактически существует большой набор входных данных, для которых каждый алгоритм не может вычислить f с вероятностью, близкой к 1. / 2.

Эта лемма может быть доказана с помощью теоремы min-max или бустинга (метод из теории вычислительного обучения), оба из которых являются примерами переключения квантификаторов.

Для меня «каноническое» доказательство теоремы Карпа-Липтона (что ) имеет такой вкус. Но здесь не фактическое утверждение теоремы, в котором квантификаторы обращаются вспять, а скорее «квантификаторы» обращаются вспять в модели чередующихся вычислений, используя предположение, что имеет маленькие цепи.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Вы хотите смоделировать вычисление формы

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

где - предикат полиномиального времени. Вы можете сделать это, угадав небольшую схему для (скажем) выполнимости, изменив так, что он проверяет себя и производит удовлетворяющее присваивание, когда его вход выполним. Затем для всех создайте экземпляр SAT который эквивалентен и решите его. Итак, вы произвели эквивалентное вычисление вида$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ выполнимо согласно .$C]$

Основное использование границы объединения в вероятностном методе можно интерпретировать как способ изменения порядка квантификаторов. Хотя это уже упоминалось в вопросе неявно, потому что доказательство Импальяццо и Рудича является примером этого, я думаю, что стоит заявить более явно.

Предположим, что X конечно и что для каждого x ∈ X мы знаем не только то, что некоторый y ∈ Y удовлетворяет φ ( x , y ), но также и то, что многие варианты y ∈ Y удовлетворяют φ ( x , y ). Формально, предположим, что мы знаем (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | для некоторой вероятностной меры на Y, Тогда оценка объединения позволяет заключить Pr _{y ∈ Y} [(( x ∈ X ) ￢φ ( x , y )] <1, что эквивалентно (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

Есть варианты этого аргумента:

1. Если X бесконечно, мы можем иногда дискретизировать X , рассматривая подходящую метрику на X и ее ε- сеть. После дискретизации X мы можем использовать объединение, как указано выше.

2. Когда события φ ( x , y ) для разных значений x почти независимы, мы можем использовать локальную лемму Ловаша вместо границы объединения.

Я хотел бы добавить несколько других методов. Хотя первые два метода не совсем предназначены для изменения порядка универсальных и экзистенциальных квантификаторов, они имеют очень похожий вид. Поэтому я воспользовался возможностью описать их здесь:

Лемма об усреднении: используется для доказательства и многих других интересных теорем. Неформально , предположим, что обозначает набор подписчиков некоторой библиотеки, обозначает набор книг в библиотеке, а для и предложение истинно, если "подписчик" любит книгу . " Усреднение леммы утверждает , что: если для каждого , существует , по крайней мере , 2/3 «с в таким образом, что выполнено, то существует единственный$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, такой, что по крайней мере для 2/3 из в утверждение выполнено. (Это можно легко доказать с помощью доведения до абсурда и подсчета аргументов.)$s$$S$$\phi(s,b)$

Пусть теперь , и пусть быть РРТ машина , которая решает . Предположим, что время выполнения ограничено полиномом . Тогда для любого и, по крайней мере, для 2/3 's, , оно считает, что . Здесь, является машина , которая использует хаотичности , и является характеристической функцией . Затем используется лемма об усреднении, чтобы показать, что для любого$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, Существует единственный , таким образом, что , по крайней мере , 2/3 «ы длины , . Этот единственный работает как совет для , и, следовательно, .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Замена леммы: Захос и Фюрер ввели новый вероятностный квантификатор (что примерно означает «для большинства»). Они доказали это (опуская детали):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Обратите внимание, что это логическая теорема второго порядка.

Используя лемму об обмене, они доказали ряд интересных теорем, таких как теорема BPP и теорема Бабая . Я отсылаю вас к оригинальной статье для получения дополнительной информации.$MA \subseteq AM$

Теорема , аналогичная теореме Карп-Lipton упоминается в Райан Уильямс пост: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$