Наследственное замещение с иерархией вселенной

Я читал о наследственной замене Простого лямбда-исчисления и Логической структуры с различными терминами и типами.

Мне интересно, есть ли примеры наследственного замещения в зависимо типизированной системе с иерархией юниверсов? то есть где и т. д.$True : Set_0 : Set_1:Set_2$

Мне интересно, в частности, как установить индукционную меру в такой системе. Версия с простым типом структурно уменьшается в типе заменяемой переменной. Это не работает с зависимыми типами, так как для LF бумага, которую я связал, использует просто набранное стирание терминов, выполняя наведение на форму типа.

Однако стирание в простые типы не работает с иерархией юниверсов, поскольку, если у вас есть что-то вроде этого:

• $f : (x : Set_1)\to x \to True$ означает, что
• $f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

т.е. применение функции привело к структурно большему типу.

Я предполагаю, что решение имеет какое-то отношение к индексам юниверса, но если существует существующая техника для установления того, что индукция обоснована, я бы предпочел цитировать ее, а не придумывать что-то самостоятельно.

Вот ссылка на предикативную Систему F. Мера действительно включает в себя мультимножество уровней вселенных в типе. Я не могу сказать много о том, обобщает ли этот подход теорию предикативного зависимого типа.

По состоянию на ноябрь 2018 года, как это сделать для зависимых теорий типов с большими исключениями, остается открытым вопросом.

Установление того, что рекурсия обоснована, не так уж плохо; Вы можете использовать теорему Патараи, чтобы доказать, что заданная точка существует. См. Инструкции Роберта Харпера « Построение систем типов поверх операционной семантики» . (Вы также можете сделать это с помощью индуктивно-рекурсивного определения.)

Сложная часть - это на самом деле хорошая формулировка наследственной замены - естественное направление ведет вас к замене не одного термина, а полной замены контекста, и это вызывает много вопросов о том, когда и как устанавливать свойства вещей. как составы (наследственных) замен.

Если бы это оказалось невозможным, я был бы шокирован. Однако в настоящее время никто этого не сделал. Если вы хотите поработать над этим, я бы предложил связаться с Андреасом Абелем, Даном Ликата и Майком Шульманом. (Или я, в этом отношении.)