Понимание доказательства сильной нормализации исчисления конструкций

У меня есть трудности в понимании доказательства строгой нормализации для исчисления конструкций. Я пытаюсь следовать доказательству в работе Германа Гойвера «Краткое и гибкое доказательство строгой нормализации для исчисления конструкций».

Я могу хорошо следовать основной линии рассуждений. Конструкции Geuvers для каждого типа $T$ интерпретация $[\![T]\!]_\xi$ основанный на некоторой оценке переменных типа $\xi(\alpha)$ , И тогда он строит некоторую интерпретацию термина $(\!|M|\!)_\rho$ основанный на некоторой оценке переменных термина $\rho(x)$ и доказывает, что для достоверных оценок утверждение $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ для всех $\Gamma\vdash M:T$ держит.

Моя проблема: для простых типов (таких как системные типы F) интерпретация типов $[\![T]\!]_\xi$ это действительно набор терминов, поэтому утверждение $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ имеет смысл. Но для более сложных типов интерпретация $[\![T]\!]_\xi$ это не набор терминов, а набор функций некоторого подходящего функционального пространства. Я думаю, я почти понимаю конструкцию функциональных пространств, однако она не может придавать никакого значения $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ для более сложных типов $T$ ,

Кто-нибудь может объяснить или дать ссылки на некоторые более понятные презентации доказательства?

Изменить: Позвольте мне попытаться сделать вопрос яснее. Контекст $\Gamma$ имеет объявления для переменных типа $\alpha:A$ и переменные объекта. Оценка типа действительна, если для всех $(\alpha:A) \in \Gamma$ с $\Gamma\vdash A:\square$ тогда $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ действует. Но $\nu(A)$ может быть элементом $(SAT)^*$ и не только $SAT$ , Поэтому нельзя определить действительный срок оценки для $\rho(\alpha)$ , $\rho(\alpha)$ должен быть термином, а не некоторой функцией функционального пространства.

Редактировать 2: пример, который не работает

Давайте сделаем следующий корректный вывод:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

В последнем контексте допустимая оценка типа должна удовлетворять $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$ , Для оценки этого типа нет действительного термина оценки.

— Helmut
источник

Половина читающих это людей будет думать, что

S A T

$SAT$ СБ. Вы должны объяснить, что это такое. Кроме того, ваш вывод кажется немного странным. Вторая строка не должна упоминать

α

$\alpha$ в заключение он должен прочитать что-то вроде

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$ не так ли?

— Андрей Бауэр

Я использую обозначение Herman Geuvers (которое кажется стандартным в этой области).

SAT

$\text{SAT}$ это множество всех насыщенных наборов лямбда-выражений. Для второй строки моего вывода: Правило введения для переменных системы чистого типа. Это правило гласит

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$ где

s

$s$ какой-то

— Helmut

Я понимаю, как вы получили вторую строку, но это не правильная предпосылка для формирования третьей линии, не так ли? Какое правило дает третья строка.

— Андрей Бауэр

Правило формирования продукта PTS гласит:

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$ , Исчисление конструкций имеет правило

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$ , Это позволяет мне использовать первую и вторую строку для получения третьей. Однако в моем сообщении была опечатка. Отсутствовал тип в третьей строке, который я добавил сейчас.

— Хельмут

Не следует читать первую строку

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$ ? Или ты перепутал

*

$*$ а также

◻

$\Box$ где-то? Вторая строка не может быть второй предпосылкой правила формирования продукта, потому что это будет означать, что вы пытаетесь сформировать что-то вроде

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$ вместо

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$ ,

— Андрей Бауэр

К сожалению, я не уверен, что ресурсов для новичков больше, чем аккаунт Geuvers. Вы можете попробовать эту заметку Криса Касингино, которая содержит несколько доказательств в мучительных деталях.

Я не уверен, что понимаю суть вашей путаницы, но я думаю, что одна важная вещь, которую стоит отметить, это следующая лемма (следствие 5.2.14), доказанная в классическом тексте Барендрегта :

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

Это означает, что в то время как $[\![T]\!]_\xi$ может быть сложной функцией, если $\Gamma \vdash M:T$ держит, то $[\![T]\!]_\xi$ должен быть набор терминов .

Об этом говорится в общих чертах (раздел 3.1), где $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ только если $\Gamma \vdash t:T :*$ , что соответствует нашему ожиданию, а именно, что интерпретация типа должна быть набором терминов, т.е. ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ (верно, ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$ !)

Это распространенная ситуация в теории типов, что, хотя мы заинтересованы только в «базовом виде» (здесь $*$ ) нам еще предстоит определить семантику для вещей более высокого вида (отсюда и необходимость $\mathrm{SAT}^*$ ). В конце концов, все получается, потому что только вид, населенный типами, $*$ (а также $\square$ , но это не очень важно).

— Коди
источник

Спасибо за объяснение. Это решает мою проблему непонимания функций, используемых в доказательстве Гивера. У меня уже было подозрение на то, что я прочитал и перечитал статью Гивера, но вы ясно дали понять.

— Хельмут