Найти приблизительное значение argmax, используя только приблизительные максимальные запросы

Рассмотрим следующую проблему.

Есть неизвестных значений v 1 , ⋯ , v п ∈ R . Задача состоит в том, чтобы найти самый большой индекс, используя только запросы следующей формы. Запрос задается множеством S ⊆ { 1 , ⋯ , n }, и соответствующий ответ max i ∈ S v i . Цель состоит в том, чтобы использовать как можно меньше запросов.$n$$v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$$S \subseteq \{1,\cdots,n\}$$\max_{i \in S} v_i$

Эта проблема проста: мы можем использовать бинарный поиск, чтобы найти argmax с запросами. т.е. построить полное двоичное дерево с n листьями, соответствующими индексам. Начните с корня и спуститесь к листу следующим образом. В каждом узле запросите максимальное значение в правом и левом поддеревьях, а затем перейдите к дочернему элементу на стороне с более крупным ответом. По достижении листа выведите его индекс.$O(\log n)$$n$

Следующая шумная версия этой проблемы появилась в моем исследовании.

Есть неизвестных значений v 1 , ⋯ , v n . К ним можно обращаться с помощью запросов, в которых задан набор S ⊆ { 1 , ⋯ , n } и возвращена выборка из N ( max i ∈ S v i , 1 ) . Цель состоит в том, чтобы идентифицировать i ∗ ∈ { 1 , ⋯ , n } так , чтобы E [ v i ∗$n$$v_1, \cdots, v_n$$S \subseteq \{1, \cdots, n\}$$\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$$i_* \in \{1, \cdots, n\}$ используя как можно меньше запросов. (Ожидание превышает выбор i ∗ , который зависит как от монет алгоритма, так и от шумных запросов.)$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$$i_*$

$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$$1$$O(\log^2 n)$$O(\log^3 n)$

$O(\log^2 n)$$\Omega(\log^2 n)$$\tilde{O}(\log n)$$\Omega(1)$$0$$O(\log n)$

$B = \Theta(\log n)$$\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

$B$$\frac{n-1}{n}B$

$B-1$

$\log n$$(\log n)^2$

$\frac{B}{n}$

Извините, это наполовину, но надеюсь, что это может быть полезно!