Нахождение подграфов с высокой шириной дерева и постоянной степенью

Мне дали график $G$с шириной дерева $k$и произвольной степени, и я хотел бы найти подграф группы (не обязательно индуцированный подграф) такой, что имеет постоянную степень, а его ширина дерева максимально высока. Формально моя проблема заключается в следующем: выбрав границу степени , какова «лучшая» функция такая, что в любом графе с Treewidth , я могу найти (мы надеемся, эффективно) подграф группы с максимальной степенью и treewidth .$H$$G$$H$$d \in \mathbb{N}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G$$k$$H$$G$$\leq d$$f(k)$

Очевидно, что мы должны взять как нет графов с высокой шириной дерева с максимальной степенью . Для я знаю, что вы можете взять , что f (k) = \ Omega (k ^ {1/100}) или около того, обратившись к Чекури и Чужому, чтобы получить незначительный результат извлечения (и использовать его для извлечения высокого - график степени ширины-3, например, стена, как топологический минор, с возможным вычислением подграфа (в RP). Тем не менее, это очень мощный результат с тщательно продуманным доказательством, поэтому неправильно использовать его для решения более простой задачи: я просто хотел бы найти любую$d \geq 3$$<3$$d = 3$$f$$f(k) = \Omega(k^{1/100})$постоянный градус, большой подграф ширины, а не конкретный, как в их результате. Кроме того, оценка $f$ не так хороша, как я бы надеялся. Конечно, известно, что это можно сделать $\Omega(k^{1/20})$ (вплоть до отказа от эффективности вычислений), но я бы надеялся на что-то вроде $\Omega(k)$ . Итак, можно ли показать, что при заданном графе $G$ ширины дерева $k$ существует подграф графа $G$ с постоянной степенью и линейной шириной дерева в $k$ ?

Меня также интересует точно такой же вопрос о траектории, а не о ширине дерева. Что касается пропускной способности, я не знаю никакого аналога для мелкого извлечения сетки, поэтому проблема кажется еще более загадочной ...

Смотрите статью Юлии Чужой и меня о спарсификаторах Treewidth. Мы покажем , что можно получить подграф степени не более 3 с древесной шириной , где является древесной шириной из . https://arxiv.org/abs/1410.1016 Доказательство короче, чем доказательство для несовершеннолетних по сетке, но все же не так просто и основано на нескольких предыдущих инструментах.$\Omega(k/polylog(k))$$k$$G$

Предположим, что вы согласились на более легкую цель - степень 4 и ширина дерева тогда вы можете получить ее гораздо проще благодаря результату Рида и Вуда для несовершеннолетних, подобных решетке. https://arxiv.org/abs/0809.0724$\Omega(k^{1/4})$

Другой простой результат, который вы можете получить, это следующее, что является отправной точкой для некоторых из более сложных доказательств. Вы можете получить подграф degre и treewidth . Вы можете увидеть бумагу спарсификатора treewidth в качестве аргумента для достижения этой цели.$\log^2(k)$$\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$