Сжатие информации о проблеме остановки машин оракула Тьюринга

Хорошо известно, что проблема остановки является неисчислимой. Тем не менее, можно экспоненциально «сжать» информацию о проблеме остановки, так что ее распаковка является вычислимой.

Точнее, можно вычислить из описания машин Тьюринга и n- битного состояния рекомендации ответ на проблему остановки для всех 2 n - 1 машин Тьюринга, предполагая, что состояние рекомендации заслуживает доверия - мы пусть наш советник выберет биты, чтобы описать, сколько из машин Тьюринга останавливается в двоичном формате, подождать, пока это количество остановится, и вывести, что остальные не останавливаются.$2^{n}-1$$n$$2^{n}-1$

Этот аргумент является простым вариантом доказательства того, что постоянная Чайтена может быть использована для решения проблемы остановки. Что меня удивило, так это то, что он острый. Не существует вычислимой карты из описания машин Тьюринга и n- битных состояний рекомендаций для 2 n битов прерывания вывода, что дает правильный ответ для каждого кортежа машин Тьюринга для некоторого кортежа битов. Если бы это было так, мы могли бы создать контрпример путем диагонализации, когда каждая из 2 n машин Тьюринга моделирует действия программы на одном из 2 n возможных вариантов размещения n битов, а затем выбирает собственное состояние остановки, чтобы нарушить предсказание.$2^n$$n$$2^n$$2^n$$2^n$$n$

Невозможно сжимать информацию о проблеме остановки для машин Тьюринга с помощью оракула остановки (без доступа к какому-либо оракулу самостоятельно). Машины могут просто имитировать то, что вы предсказываете на всех возможных входах, игнорируя те, где вы не останавливаетесь, и выбирая время их остановки, чтобы дать лексикографически первый ответ, который вы не предсказали ни на одном входе.

Это побудило меня задуматься о том, что происходит с другими оракулами:

Существует ли пример оракула, где проблема остановки машин Тьюринга с этим оракулом может быть сжата с промежуточной скоростью роста между линейной и экспоненциальной?

$f(n)$$m$$m$$n$$m$$m$$n$$m$$1$$0$

$n<f(n)<2^{n}-1$$\omega(n)=f(n)=o(2^n)$

$J^A(e)$$e$$A$$e$$J$$J^A(e)$

$A$$h:\mathbb N\to\mathbb N$$e$$J^A(e)\in T_e$$(T_e)_{e\in\mathbb N}$$|T_e|\le h(e)$$e$

$f^A(k,n)=$$n$$k$$0,\dots,n-1$$k$$f^A(k,n)$

$f^A$$A$$g$$f^A(k,n)=J^A(g(k,n))$

$n$$A$$h(e)$$T_e$$e=g(k,n)$$k$

$h$$A$

Это достаточно хороший кандидат в том смысле, что у нас есть одно направление (верхняя граница для скорости роста) и что доказуемо метод, с помощью которого мы получили верхнюю границу, не дает намного меньшей верхней границы, чем эта.