Следует ли невычислимость колмогоровской сложности из теоремы Лаврэ о неподвижной точке?

Многие теоремы и «парадоксы» - диагонализация Кантора, неразрешимость хетлинга, неразрешимость колмогоровской сложности, неполнота Гёделя, неполнота Хаитина, парадокс Рассела и т. Д. - все имеют по существу одно и то же доказательство диагонализацией (обратите внимание, что это более конкретно, чем то, что они могут все должно быть доказано диагонализацией, скорее, кажется, что все эти теоремы действительно используют одну и ту же диагонализацию; более подробную информацию см., например, Янофски , или для более краткого и менее формализованного изложения мой ответ на этот вопрос ).

В комментарии к вышеупомянутому вопросу Сашо Николов указал, что большинство из них были частными случаями теоремы Лаврэра о неподвижной точке . Если бы все они были особыми случаями, то это было бы хорошим способом уловить вышеупомянутую идею: на самом деле был бы один результат с одним доказательством (по закону Лаврэ), из которого все вышеперечисленное явилось прямым следствием.

Теперь, для Гёделя Неполнота и неразрешимость проблемы остановки и их друзей, хорошо известно, что они следуют из теоремы Лаврэса о неподвижной точке (см., Например, здесь , здесь или Янофски ). Но я не сразу вижу, как это сделать для неразрешимости колмогоровской сложности, несмотря на то, что основополагающее доказательство как-то «одинаково». Так:

Является ли неразрешимость колмогоровской сложности быстрым следствием - не требующим дополнительной диагонализации - теоремы Лавре о неподвижной точке?

— Джошуа Грохов
источник

Я должен сказать, что все, что я когда-либо знал об этой теме, я узнал из этой записи в блоге Андрея Бауэра: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Сашо Николов

@MaxNew: Пусть вычислимая функция, вычисленная по некоторым ТМ . Пусть будет следующим ТМ: при пустом вводе он начинает проходить строки по одной за раз, пока не найдет с и выход . Обратите внимание, что для некоторого зависящего только от, Тогда для любого такого, что( подойдет любое достаточно большое ), либо такого (в этом случае ), либо выдает некоторый

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$ такой, что (по построению), но тот факт , что выход следует , что , поэтому .

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Джошуа

@NealYoung: похоже, но они не совсем отвечают на мой вопрос. Снижение от проблемы остановки означает, что HALT является «источником» невычислимости, а затем использует сокращения. Но (например) доказательство, которое я привел в комментариях выше, показывает, что вы также можете принять K-сложность в качестве «источника невычислимости», но очень похожим доказательством для HALT. Можно ли показать, что подобное аналогичное доказательство действительно в каком-то техническом смысле одинаково ? (В данном случае, показывая, что все они являются примерами теоремы Лаврэра, которая кажется мне более сильной, чем многие виды сокращений.) Это то, что я действительно после.

— Джошуа

@NealYoung: Да, это обобщает теорему Роджера о неподвижной точке. Но если вы будете думать только о ней как о теореме Роджера, вы упустите суть; Дело в том, что закон Лоувера достаточно общий, чтобы охватить стратегию доказательств из множества различных доказательств, помимо того, что есть у Роджера. Статья Йонофски, о которой идет речь в этом вопросе, предназначена для «без категорий» изложения теоремы Лаврера, дружественной к людям, для которых теория категорий Лаврера может быть пугающей.

— Джошуа

См. Также cstheory.stackexchange.com/a/2830

— Саламон

РЕДАКТИРОВАТЬ: Добавление предостережения о том, что теорема Роджера о фиксированной точке не может быть частным случаем Лавр.

Вот доказательство, которое может быть «близким» ... Оно использует теорему Роджера о неподвижной точке вместо теоремы Лаврера. (См. Раздел комментариев ниже для дальнейшего обсуждения.)

Пусть - колмогоровская сложность строки . $K(x)$ $x$

Лемма . не вычислимо $K$ .

Доказательство .

Предположим для противоречия, что вычислимо. $K$
Определите как минимальную длину кодирования любой машины Тьюринга с . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Существует константа такая, что для всех строк . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Определим функцию такой , что , где , такие , что является минимальной строки таким образом, что . $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Поскольку вычислимо, то и . $K$ $f$
По теореме Роджера с фиксированной точкой , имеет неподвижную точку, то есть, существует машина Тьюринга такое , что , где . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
По определению в строке 4 имеем такое, что . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
Строки 3 и 7 подразумевают , $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
Но по определению в строке 2 , противоречащий строке 8. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Нил Янг
источник

Насколько я знаю, теорема Роджера о неподвижной точке не является примером теоремы Лоувера о неподвижной точке. Однако это вариант, потому что в эффективном топосе он звучит следующим образом: если

является взаимно оцененной сюръекцией, то

обладает свойством с фиксированной точкой. (Теорема Лавре в эффективном топосе такова: если

является сюръекцией, то

обладает свойством с фиксированной точкой.)

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Андрей Бауэр

Над моей зарплатой @AndrejBauer - я не знаю теорию категорий. Попробовал прочитать это и ваш ответ здесь . Все еще не понимаю. Можете ли вы сказать мне в своем комментарии выше для теоремы Роджерса, что вы берете для функции

(с типом

) и что такое

? Или, может быть, предложить соответствующий учебник?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Нил Янг

Слайды 45 и 46 в math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (хорошая новость заключается в том, что теперь у меня есть определенный план и крайний срок для написания обширной статьи о синтетической вычислимости ).

— Андрей Бауэр