Означает ли закон исключенного среднего аксиому К в теории напряженного типа Мартина-Лёфа?

Поэтому мне было интересно, подразумевает ли закон исключенного среднего (LEM) так называемую аксиому К в теории напряженного типа Мартина-Лёфа. Аксиома K утверждает, что На самом деле я пытался доказать более общее утверждение, что

Π_{A : T Y п е} Π_{Икс : A} Π_{п : Мне бы (Икс, Икс)}, Мне бы (п, {Refl}_{Икс})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

но после уменьшениядопо индукции равенства я застрял в первой проблеме. Я также пытался исходить из противоречия, но, похоже, это не работает ..

Π_{A : T Y п е} Π_{Икс, Y : A} Π_{п, Q : Мне бы (Икс, Y)}, Мне бы (п, Q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Это вообще доказуемо?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
источник

$K$

Ваш второй принцип известен как UIP или уникальность удостоверения личности. Это эквивалентно Аксиоме K, см. Теорему 7.2.1 в книге HoTT (просто прокрутите вверх от 7.2.5 на одну страницу). Ничто из этого не может быть выведено из теории интенсиональных типов Мартина-Лёфа по известному результату Томаса Штрайхера и Мартина Хофманна .

— Андрей Бауэр
источник

Я воспользуюсь этой возможностью, чтобы упомянуть об изящном доказательстве Алана Шмитта, в котором четко выделяется ключевой компонент: способность, при условии доказательства равенства, создать каноническое.

— Gallais

Тем не менее, также стоит отметить, что, как указано в Книге HoTT, существует более слабая форма «LEM», которая не подразумевает K и, вероятно, то, что математики действительно подразумевают под LEM, а именно LEM, ограниченная субсинглтонными типами.

— Майк Шульман