Является ли колмогоровская сложность таблиц истинности проблемы остановки асимптотически известной?

Позволять $HALT_n$ обозначить строку длины $2^n$ соответствует таблице истинности проблемы остановки для входов длины $n$,

Если последовательность колмогоровских сложностей $K(HALT_n)$ мы $O(1)$, тогда одна из строк рекомендаций будет использоваться бесконечно часто, и TM с этой жестко закодированной строкой сможет решить $HALT$ равномерно бесконечно часто, что, как мы знаем, не так.

Более тщательное изучение аргумента диагонализации на самом деле показывает, что $K(HALT_n)$ по крайней мере $n - \omega (1)$Итак, вместе с тривиальной верхней границей имеем:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Эта нижняя граница отмечена во введении недавней работы Fortnow и Santhanam «Новые неоднородные нижние границы для классов равномерной сложности» , и они приписывают ее фольклору. По сути, если строка с рекомендациями короче, чем длина ввода, мы можем по-прежнему диагонализировать машины с максимальным количеством рекомендаций.

(Правка: На самом деле, в более ранней версии статьи они приписывали это фольклору, я думаю, теперь они просто говорят, что это адаптация Хартманиса и Стернса.)

На самом деле, в этой статье они касаются теорем иерархии времени, и они утверждают вещи относительно ограничения ресурса $t$временные шаги, а не неограниченная колмогоровская сложность. Но доказательство результата «фольклора» то же самое в неограниченном случае.

Одна из причин, по которой они заботятся о нижних границах совета, заключается в том, что он связан с нижними границами контура и дерандомизацией в парадигме «твердость против случайности». Например, если каноническая задача разрешима во времени$2^n$ есть таблицы истинности, которые требуют совета $2^{\epsilon n}$ чтобы быть рассчитанным во времени $2^{\epsilon n}$то эти таблицы истинности не имеют схем размера $2^{\epsilon n}$ либо так $P = BPP$ знаменитым результатом Импальяццо и Вигдерсона.

Спрашивать о $K(HALT_n)$вместо этого не имеет таких приложений, но это может быть проще решить. Это также легче сформулировать, не имея никакой зависимости от временного параметра - это довольно естественная проблема, которая, возможно, уже была изучена.

Есть ли лучшие нижние или верхние границы на $K(HALT_n)$известен помимо "фольклорного" результата? Является ли нижняя или верхняя границы выше жесткой?

Примечание: есть еще один приятный пост о сложности схемы проблемы остановки, который можно увидеть как почти максимальный по аргументу, зарисованному Эмилем Джерабеком здесь: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -of-заместитель запинающийся-проблема

В основном, он использует прием, где мы можем вычислить (с произвольным доступом) первую лексикографическую таблицу истинности (большой) сложности схемы в классе $E^{NP^{NP}}$, И мы можем свести это вычисление к запросу к проблеме остановки, и это сокращение имеет низкую сложность схемы. Так,$HALT$ должна иметь большую сложность схемы - если это не так, то эта функция также будет иметь низкую сложность.

Хотя это кажется связанным, я не думаю, что этот аргумент дает что-то для $K(HALT_n)$, (Может быть, ограниченная по времени колмогоровская сложность$HALT$является большим, как подразумевает ограничение сложности схемы, но по мере того, как ограничение по времени уменьшается, сложность резко падает.) Я думаю, что аналогичный аргумент показывает, что, если бы у нас был оракул к проблеме остановки, то мы могли бы поддерживать произвольный доступ Запросы к лексикографически первой несжимаемой строке. Но мы должны сделать ряд адаптивных запросов, и это не может быть сведено непосредственно к$HALT$насколько я знаю. Кроме того, строки запроса должны быть экспоненциально большими, так что в итоге они показывают только то, что$HALT_{2^n}$ имеет сложность по крайней мере $2^n$ да, и это не побеждает аргумент "фольклор".

Мой фон в колмогоровской сложности довольно слаб, к сожалению, $K(HALT_n)$уже известен какой-то другой аргумент? Может быть, есть хитрость с использованием симметрии информации?

Или есть лучшая верхняя граница, которую я пропустил?

Одна вещь, которая может показаться странной, это то, что переключение обратно на $DTIME$Установка, мы ожидаем получить нижнюю границу совета только тогда, когда мы сократим время ниже наивного алгоритма. Когда у вас достаточно времени для запуска наивного алгоритма, тогда, очевидно, он сжимается. На случай, если$K(HALT_n)$время вообще не ограничено, поэтому, возможно, у нас «такое же» количество времени, как у противника, и не следует ожидать, что оно будет максимально несжимаемым. Тем не менее, диагонализация работает и в неограниченных условиях - кажется, что для любой машины есть машина, которая делает то же самое, что и эта машина, а затем делает что-то еще, поэтому всегда есть кто-то, у кого больше времени, чем у вас. Так что, возможно, у противника всегда больше времени, чем у нас ...

Хм, оказывается, на самом деле есть соответствующая верхняя граница, которая не слишком сложна:

Чтобы создать таблицу правды $HALT_n$ за конечный промежуток времени единственная информация, которая требуется, это количество машин длины описания не более $n$остановка Это число не более$2^{n}$так что это может быть представлено с около $n$биты. Затем мы можем запустить все такие машины параллельно и запускать их до тех пор, пока многие из них не остановятся, а остальные, как известно, не останавливаются.

Итак, я полагаю, что фольклорный аргумент здесь жесток. У нас есть

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

а также $K(HALT_n)$ только четко определены до добавки $O(1)$ в любом случае, в зависимости от выбора универсальной машины Тьюринга.

NB: В качестве милого бонуса это доказательство показывает, что $n$-битная строка, соответствующая числу машин длины описания не более $n$ эта остановка - несжимаемая строка - если бы она была сжимаемой, тогда верхняя граница была бы более жесткой, противореча нижней.